電圧 \(V\) \([\text{V}]\) に充電された静電容量 \(C\) \([\text{F}]\) のコンデンサと全く充電されていない静電容量 \(2C\) \([\text{F}]\) のコンデンサとがある。これら二つのコンデンサを並列に接続したとき、これらのコンデンサに蓄えられる全静電エネルギー \([\text{J}]\) の値として、正しいものは次のうちどれか。
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要点
正解は(2)。最初に電荷をもっているのは静電容量 \(C\) のコンデンサだけなので、並列接続後はその全電荷 \(Q=CV\) が合成容量 \(3C\) に分配されます。したがって共通電圧は \(V/3\) となり、全静電エネルギーは \(W=\frac{1}{2}\cdot 3C\cdot (V/3)^2=\frac{1}{6}CV^2\) です。
詳細解説
この問題では、並列接続した後の共通電圧を電荷保存から求め、その電圧で全体のエネルギーを計算する流れがポイントです。
ここで重要なのは、接続後に保存されるのは電圧ではなく全電荷だという点です。したがって、接続後の共通電圧を先に求めるなら \(V'=\dfrac{Q}{C_{0}}=\dfrac{V}{3}\) となり、全静電エネルギーは
\[
W=\frac{1}{2}C_{0}V'^{2}
\]
でも求められます。あるいは、電荷保存をそのまま使って
\[
W=\frac{Q^{2}}{2C_{0}}
\]
としてもよく、計算すると
\[
W=\frac{(CV)^{2}}{2(3C)}=\frac{1}{6}CV^{2}
\]
です。
間違えやすいのは、並列にしたあとも元のコンデンサの電圧 \(V\) がそのまま残ると考えてしまうことです。ここでは外部電源につないでいないので、一定なのは電圧ではなく全電荷です。よって正解は (2) です。
