図の回路のスイッチSを \(t=0\text{s}\) で閉じる。電流 \(i_{S}\) \([\text{A}]\) の波形として最も適切に表すものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、スイッチSを閉じる直前に、回路は定常状態にあったとする。
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要点
正解は(3)。投入直後は右側のコンデンサ放電電流が 1A 流れ、同時に左側のRL回路の電流が 0 から立ち上がるので、スイッチ電流は最初 1A から始まって一度それを上回り、最後は再び 1A に戻ります。初期値と最終値が同じで途中だけ盛り上がる波形を選べば (3) です。
詳細解説
この問題では、投入直後と十分時間が経った後のスイッチ電流を別々に考え、途中の増減の形を判断することがポイントです。
スイッチ \(S\) を閉じる直前の定常状態では、左側のコイル回路には電流が流れておらず、右側のコンデンサには \(1\text{V}\) が充電されている。
スイッチを閉じた後は、スイッチの左側を RL 回路、右側を RC 回路として別々に考えることができる。
左側の RL 回路では、
\[
\tau_L=\frac{L}{R}=\frac{1}{1}=1\text{s}
\]
であり、電流は
\[
i_L(t)=1-e^{-t}
\]
と増加して、最終的に \(1\text{A}\) に近づく。
右側の RC 回路では、コンデンサの初期電圧が \(1\text{V}\) なので、放電電流の初期値は \(1\text{A}\) である。
時定数は
\[
\tau_C=CR=2\times 1=2\text{s}
\]
だから、放電電流は
\[
i_C(t)=e^{-t/2}
\]
と減少していく。
したがって、スイッチ電流は
\[
i_S(t)=i_L(t)+i_C(t)=1-e^{-t}+e^{-t/2}
\]
となる。
\(t=0\) では
\[
i_S(0)=1\text{A}
\]
であり、\(t\to\infty\) でも
\[
i_S(\infty)=1\text{A}
\]
となる。
さらに、\(t>0\) では
\[
i_S(t)-1=e^{-t/2}-e^{-t}>0
\]
なので、スイッチ投入後しばらくの間は \(1\text{A}\) を上回る。
よって、1Aから始まり、いったん上昇してから再び 1A に戻る波形である (3) が正しい。
