問題文
まず問題文だけに集中します。採点後に要点と解説へ進みます。
(選択問題)
図のように、極板間の厚さ \(d\) [m], 表面積 \(S\) [m\(^2\)] の平行板コンデンサAとBがある。コンデンサAの内部は、比誘電率と厚さが異なる3種類の誘電体で構成され、極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。コンデンサBの内部は、比誘電率と水平方向の断面積が異なる3種類の誘電体で構成されている。コンデンサAの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ \(E_{A1}, E_{A2}, E_{A3}\), コンデンサBの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ \(E_{B1}, E_{B2}, E_{B3}\) とし、端効果, 初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。また、真空の誘電率を \(\varepsilon_{0}\) [F/m] とする。両コンデンサの上側の極板に電圧 \(V\) [V] の直流電源を接続し、下側の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
コンデンサA構成: 上から順に \(\varepsilon_{r}=2\) (厚さ \(d/6\)), \(\varepsilon_{r}=3\) (厚さ \(d/3\)), \(\varepsilon_{r}=6\) (厚さ \(d/2\))。
コンデンサB構成: 左から順に \(\varepsilon_{r}=2\) (面積 \(S/6\)), \(\varepsilon_{r}=3\) (面積 \(S/3\)), \(\varepsilon_{r}=6\) (面積 \(S/2\))。厚さは全て \(d\)。
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3 解説
-
(1)
\(E_{A1}>E_{A2}>E_{A3}\), \(\dfrac{3V}{5d}\)
-
(2)
\(E_{A1}<E_{A2}<E_{A3}\), \(\dfrac{3V}{5d}\)
-
(3)
\(E_{A1}=E_{A2}=E_{A3}\), \(\dfrac{V}{d}\)
-
(4)
\(E_{A1}>E_{A2}>E_{A3}\), \(\dfrac{9V}{5d}\)
-
(5)
\(E_{A1}<E_{A2}<E_{A3}\), \(\dfrac{9V}{5d}\)
あなた: -番
正解: 4番
この問題で変わったこと
・この問題では「静電気」を固められます。
・関連問題 5 問で続けて定着できます。
要点
正解は(4)。誘電体を電界方向に直列に重ねると電束密度 D が一定になり、電界は E=D/\varepsilon で比誘電率が小さい層ほど大きくなります。厚さを含めた電圧配分から E_{A1}=9V/(5d) です。
詳細解説
コンデンサAの電界
誘電体が直列に積層されているため、電束密度 \(D\) は一定である。
\(D = \varepsilon E\) より \(E = D/\varepsilon\)。
比誘電率が小さいほど電界は大きくなる。\(\varepsilon_{r}\) は順に 2, 3, 6 なので、電界は \(E_{A1} > E_{A2} > E_{A3}\)。
電圧配分: \(V = E_{A1}(d/6) + E_{A2}(d/3) + E_{A3}(d/2)\)。
電界比: \(E_{A1} : E_{A2} : E_{A3} = 1/2 : 1/3 : 1/6 = 3 : 2 : 1\)。
\(E_{A2} = \frac{2}{3}E_{A1}, E_{A3} = \frac{1}{3}E_{A1}\)。
\(V = E_{A1} \left( \frac{d}{6} + \frac{2d}{9} + \frac{d}{6} \right) = E_{A1} d \left( \frac{3+4+3}{18} \right) = \frac{10}{18} E_{A1} d = \frac{5}{9} E_{A1} d\)。
よって \(E_{A1} = \dfrac{9V}{5d}\)。
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