図で、水圧管内を水が充満して流れている。断面Aでは、内径 \( 2.2 \text{ m} \)、流速 \( 3 \text{ m/s} \)、圧力 \( 24 \text{ kPa} \) である。このとき、断面Aとの落差が \( 30 \text{ m} \) である点Bにおける流速 \( [\text{m/s}] \) と水圧 \( [\text{kPa}] \) の最も近い値の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、重力加速度は \( 9.8 \text{ m/s}^{2} \)、水の密度は \( 1\,000 \text{ kg/m}^{3} \)、円周率は \( 3.14 \) とする。
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要点
正解は(3)。まず連続の式 Q=Av からB点流速を 3.63m/s と求めます。次にA点とB点でベルヌーイの式を立て、落差30m、圧力水頭、速度水頭を入れて水圧を約316kPaにします。
詳細解説
連続の式 $Q = A_A v_A = A_B v_B$ より、B点の流速 $v_B$ を求めます。
\[
v_B = v_A \left( \dfrac{D_A}{D_B} \right)^2 = 3 \times \left( \dfrac{2.2}{2.0} \right)^2 = 3 \times 1.21 = 3.63 \text{ m/s}
\]
次にベルヌーイの定理を用います。位置水頭＋圧力水頭＋速度水頭＝一定より、
\[
z_A + \dfrac{P_A}{\rho g} + \dfrac{v_A^2}{2g} = z_B + \dfrac{P_B}{\rho g} + \dfrac{v_B^2}{2g}
\]
落差 $z_A - z_B = 30 \text{ m}$ なので、
\[
30 + \dfrac{24 \times 10^3}{1000 \times 9.8} + \dfrac{3^2}{2 \times 9.8} = \dfrac{P_B}{1000 \times 9.8} + \dfrac{3.63^2}{2 \times 9.8}
\]
\[
30 + 2.45 + 0.46 = \dfrac{P_B}{9800} + 0.67
\]
\[
32.91 - 0.67 = \dfrac{P_B}{9800} \implies 32.24 = \dfrac{P_B}{9800}
\]
\[
P_B = 32.24 \times 9800 \approx 315\,952 \text{ Pa} \approx 316 \text{ kPa}
\]
よって、流速 \( 3.6 \text{ m/s} \)、水圧 \( 316 \text{ kPa} \) が最も近くなります。
