真空中において、図のように点Aに正電荷 \(+4Q\) [C]、点Bに負電荷 \(-Q\) [C] の点電荷が配置されている。この2点を通る直線上で電位が \(0\) [V] になる点を点Pとする。点Pの位置を示すものとして、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。なお、無限遠の点は除く。
ただし、点Aと点B間の距離を \(l\) [m] とする。また、点Aより左側の領域をa領域、点Aと点Bの間の領域をab領域、点Bより右側の領域をb領域とし、真空の誘電率を \(\varepsilon_{0}\) [F/m] とする。
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(1)
a領域: \(\dfrac{l}{3}\) [m] 点Aより左の点, ab領域: この領域には存在しない, b領域: 点Bより右 \(l\) [m] の点
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(2)
a領域: この領域には存在しない, ab領域: 点Aより右 \(\dfrac{4l}{5}\) [m] の点, b領域: 点Bより右 \(\dfrac{l}{3}\) [m] の点
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(3)
a領域: この領域には存在しない, ab領域: この領域には存在しない, b領域: 点Bより右 \(l\) [m] の点
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(4)
a領域: \(\dfrac{l}{3}\) [m] 点Aより左の点, ab領域: 点Aより右 \(\dfrac{4l}{5}\) [m] の点, b領域: 点Bより右 \(\dfrac{l}{3}\) [m] の点
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(5)
a領域: この領域には存在しない, ab領域: 点Aより右 \(\dfrac{4l}{5}\) [m] の点, b領域: 点Bより右 \(l\) [m] の点
要点
正解は(2)。以上より、電位が \( 0 \) V となるのは点 A から右に \( \dfrac{4}{5}l \) の点と、点 B から右に \( \dfrac{1}{3}l \) の点であるため、正解は(2)となります。
詳細解説
2つの点電荷による電位の合計が \( 0 \) V となる地点を求めます。点 A（座標 \( 0 \)）に \( +4Q \)、点 B（座標 \( l \)）に \( -Q \) の電荷があるとき、点 A からの距離を \( r \) とした電位 \( V \) は以下の通りです。
① \( a \) 領域（\( r < 0 \)）
点 A の左側では、両電荷からの距離を考慮すると：
\[ V = \dfrac{4Q}{4\pi\epsilon_0 |r|} + \dfrac{-Q}{4\pi\epsilon_0 (l + |r|)} \]
この式が \( 0 \) となるには \( \dfrac{4}{|r|} = \dfrac{1}{l + |r|} \) 即ち \( 4l + 4|r| = |r| \) となりますが、これを満たす \( |r| > 0 \) は存在しません。
② \( ab \) 領域（\( 0 < r < l \)）
点 A と点 B の間では：
\[ V = \dfrac{4Q}{4\pi\epsilon_0 r} + \dfrac{-Q}{4\pi\epsilon_0 (l - r)} = 0 \]
\[ \dfrac{4}{r} = \dfrac{1}{l - r} \]
これを解くと \( 4l - 4r = r \) より、\( r = \dfrac{4}{5}l \) となります。
③ \( b \) 領域（\( r > l \)）
点 B の右側では：
\[ V = \dfrac{4Q}{4\pi\epsilon_0 r} + \dfrac{-Q}{4\pi\epsilon_0 (r - l)} = 0 \]
\[ \dfrac{4}{r} = \dfrac{1}{r - l} \]
これを解くと \( 4r - 4l = r \) より、\( 3r = 4l \) となり \( r = \dfrac{4}{3}l \) です。これは点 B から見ると \( \dfrac{4}{3}l - l = \dfrac{1}{3}l \) 右側の地点を指します。
以上より、電位が \( 0 \) V となるのは点 A から右に \( \dfrac{4}{5}l \) の点と、点 B から右に \( \dfrac{1}{3}l \) の点であるため、正解は(2)となります。
