図のように、\( 5 \mathrm{\Omega} \) の抵抗、\( 200 \mathrm{mH} \) のインダクタンスをもつコイル、\( 20 \mathrm{\mu F} \) の静電容量をもつコンデンサを直列に接続した回路に周波数 \( f \mathrm{[Hz]} \) の正弦波交流電圧 \( E \mathrm{[V]} \) を加えた。周波数を回路に流れる電流が最大となるように変化させたとき、コイルの両端の電圧の大きさは抵抗の両端の電圧の大きさの何倍か。最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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要点
正解は(4)。電流が最大となるのは直列共振状態のときです。共振角周波数を \( \omega \) とすると、\( \omega L = \dfrac{1}{\omega C} \) より、 このとき、回路のインピーダンスは抵抗 \( R \) のみとなります。
詳細解説
電流が最大となるのは直列共振状態のときです。
共振角周波数を \( \omega \) とすると、\( \omega L = \dfrac{1}{\omega C} \) より、
\[ \omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{0.2 \times 20 \times 10^{-6}}} = \dfrac{1}{\sqrt{4 \times 10^{-6}}} = \dfrac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \mathrm{~rad/s} \]
このとき、回路のインピーダンスは抵抗 \( R \) のみとなります。
抵抗の両端の電圧 \( V_R \) は電源電圧 \( E \) に等しくなります（\( V_R = IR = E \)）。
コイルの両端の電圧 \( V_L \) は、
\[ V_L = I \omega L = \dfrac{E}{R} \omega L \]
求める倍率（Q値）は、
\[ \dfrac{V_L}{V_R} = \dfrac{\frac{E}{R}\omega L}{E} = \dfrac{\omega L}{R} \]
値を代入すると、
\[ \dfrac{500 \times 0.2}{5} = \dfrac{100}{5} = 20 \]
