図の回路において、スイッチSが開いているとき、静電容量 \( C_1 = 4 \mathrm{mF} \) のコンデンサには電荷 \( Q_1 = 0.3 \mathrm{C} \) が蓄積されており、静電容量 \( C_2 = 2 \mathrm{mF} \) のコンデンサの電荷は \( Q_2 = 0 \mathrm{C} \) である。この状態でスイッチSを閉じて、それから時間が十分に経過して過渡現象が終了した。この間に抵抗 \( R \mathrm{[\Omega]} \) で消費された電気エネルギー \(\mathrm{[J]}\) の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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要点
正解は(3)。投入前は \(C_1\) だけに電荷があり、投入後は総電荷 \(0.3C\) が \(C_1+C_2\) に再配分されます。初期エネルギーと最終エネルギーの差を抵抗で消費されたエネルギーとして求める点が決め手です。
詳細解説
スイッチ投入前の全エネルギー \( W_{start} \) は、\( C_1 \) のみに電荷があるため、
\[ W_{start} = \dfrac{Q_1^2}{2C_1} = \dfrac{0.3^2}{2 \times 4 \times 10^{-3}} = \dfrac{0.09}{0.008} = 11.25 \mathrm{J} \]
スイッチ投入後、十分時間が経過すると、電荷は2つのコンデンサに再分配されます。電荷保存則より総電荷量は \( Q = 0.3 \mathrm{C} \) のままです。
回路は閉ループを形成し並列接続となるため、合成静電容量は \( C_{total} = C_1 + C_2 = 4 + 2 = 6 \mathrm{mF} \) です。
スイッチ投入後の全エネルギー \( W_{end} \) は、
\[ W_{end} = \dfrac{Q^2}{2C_{total}} = \dfrac{0.3^2}{2 \times 6 \times 10^{-3}} = \dfrac{0.09}{0.012} = 7.50 \mathrm{J} \]
抵抗 \( R \) で消費されたエネルギーは、エネルギーの減少分に等しいため、
\[ \Delta W = W_{start} - W_{end} = 11.25 - 7.50 = 3.75 \mathrm{J} \]
