図のように、線間電圧 \( 200 \mathrm{V} \) の対称三相交流電源に、三相負荷として誘導性リアクタンス \( X=9 \mathrm{\Omega} \) の3個のコイルと \( R \mathrm{[\Omega]} \)、\( 20 \mathrm{\Omega} \)、\( 20 \mathrm{\Omega} \)、\( 60 \mathrm{\Omega} \) の4個の抵抗を接続した回路がある。端子a, b, cから流入する線電流の大きさは等しいものとする。この回路について、次の(a)及び(b)の問に答えよ。
a相に接続された \( R \) の値 \(\mathrm{[\Omega]}\) として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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要点
正解は(2)。デルタ結線の抵抗負荷をY結線へ等価変換し、各相のインピーダンスの大きさがそろう条件を見ます。線電流が等しいという条件を相インピーダンスの条件へ直す点が決め手です。
詳細解説
線電流の大きさが等しいということは、電源から見た各相のインピーダンスの大きさが等しい（平衡している）ことを意味します。
デルタ結線された抵抗負荷（\( 20\Omega, 20\Omega, 60\Omega \)）をスター（Y）結線に等価変換します。
頂点をa側、左下をb側、右下をc側と仮定（または回路図の対称性から判断）して計算します。
\( R_{ab}=20, R_{ca}=20, R_{bc}=60 \) とすると、
a相側の等価Y抵抗 \( r_a = \dfrac{20 \times 20}{20+20+60} = \dfrac{400}{100} = 4 \mathrm{\Omega} \)
b相、c相側の等価Y抵抗 \( r_b = r_c = \dfrac{20 \times 60}{100} = 12 \mathrm{\Omega} \)
各相の1相あたりのインピーダンス \( Z \) の大きさが等しくなる必要があります。
a相：抵抗 \( R \) と 直列リアクタンス \( X \)、さらに負荷の \( r_a \) があります。
\( Z_a = (R + r_a) + jX = (R+4) + j9 \)
b, c相：直列リアクタンス \( X \) と負荷の \( r_b \) (または \( r_c \))。
\( Z_b = r_b + jX = 12 + j9 \)
大きさが等しいので、\( |Z_a| = |Z_b| \)
\[ \sqrt{(R+4)^2 + 9^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} \]
\[ (R+4)^2 = 12^2 \]
\[ R+4 = 12 \implies R = 8 \mathrm{\Omega} \]
