図のように直列に接続された二つの平行平板コンデンサに \( 120 \mathrm{V} \) の電圧が加わっている。コンデンサ \( C_1 \) の金属板間は真空であり、コンデンサ \( C_2 \) の金属板間には比誘電率 \( \varepsilon_r \) の誘電体が挿入されている。コンデンサ \( C_1 \)、\( C_2 \) の金属板間の距離は等しく、\( C_1 \) の金属板の面積は \( C_2 \) の2倍である。このとき、コンデンサ \( C_1 \) の両端の電圧が \( 80 \mathrm{V} \) であった。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。
コンデンサ \( C_2 \) の誘電体の比誘電率の値として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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要点
正解は(4)。直列接続なので両コンデンサの電荷は等しく、電圧80Vと40Vから容量比を読みます。面積比2倍を式へ入れると、比誘電率は4になります。
詳細解説
真空の誘電率を \( \varepsilon_0 \)、極板間距離を \( d \)、\( C_2 \) の面積を \( S \) とします。\( C_1 \) の面積は \( 2S \) です。
\( C_1 = \varepsilon_0 \dfrac{2S}{d} \)
\( C_2 = \varepsilon_r \varepsilon_0 \dfrac{S}{d} \)
直列接続されたコンデンサの分圧比は静電容量の逆比になります。
電圧は \( V_1 = 80 \mathrm{V} \)。全体が \( 120 \mathrm{V} \) なので、\( V_2 = 120 - 80 = 40 \mathrm{V} \)。
\( Q = C_1 V_1 = C_2 V_2 \) より、
\( \dfrac{C_2}{C_1} = \dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{80}{40} = 2 \)
よって \( C_2 = 2C_1 \) です。
式を代入すると、
\( \varepsilon_r \varepsilon_0 \dfrac{S}{d} = 2 \left( \varepsilon_0 \dfrac{2S}{d} \right) \)
\( \varepsilon_r = 4 \)
