抵抗 \(R\) [\(\Omega\)] と誘導性リアクタンス \(X_{L}\) [\(\Omega\)] を直列に接続した回路の力率 (\(\cos\)) は、\(\dfrac{1}{2}\) であった。いま、この回路に容量性リアクタンス \(X_{C}\) [\(\Omega\)] を直列に接続したところ、\(R\) [\(\Omega\)], \(X_{L}\) [\(\Omega\)], \(X_{C}\) [\(\Omega\)] 直列回路の力率は、\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) (遅れ) になった。容量性リアクタンス \(X_{C}\) [\(\Omega\)] の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。
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要点
正解は(4)。初期状態。力率 \(\cos \theta_1 = 1/2\) です。\(\tan \theta_1 = \dfrac{\sqrt{1 - (1/2)^2}}{1/2} = \sqrt{3}\) よって、\(\dfrac{X_L}{R} = \sqrt{3} \Rightarrow X_L = \sqrt{3}R\)。
詳細解説
正解は(4)です。
1. 初期状態: 力率 \(\cos \theta_1 = 1/2\) です。
\(\tan \theta_1 = \dfrac{\sqrt{1 - (1/2)^2}}{1/2} = \sqrt{3}\)
よって、\(\dfrac{X_L}{R} = \sqrt{3} \Rightarrow X_L = \sqrt{3}R\)
2. 接続後: \(X_C\) を直列接続後の力率 \(\cos \theta_2 = \sqrt{3}/2\) (遅れ) です。
\(\tan \theta_2 = \dfrac{\sqrt{1 - (\sqrt{3}/2)^2}}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
回路全体のリアクタンスは \(X_L - X_C\) なので、
\(\dfrac{X_L - X_C}{R} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
3. 計算:
\(\sqrt{3}R - X_C = \dfrac{R}{\sqrt{3}}\)
\(X_C = \sqrt{3}R - \dfrac{R}{\sqrt{3}} = \dfrac{3R - R}{\sqrt{3}} = \dfrac{2R}{\sqrt{3}}\)
以上より、選択肢(4)が正解です。
