図に示す回路において、スイッチSを閉じた瞬間(時刻 \(t=0\)) に点Aを流れる電流を \(I_{0}\) [A] とし、十分に時間が経ち、定常状態に達したのちに点Aを流れる電流を \(I\) [A] とする。電流比 \(\dfrac{I_{0}}{I}\) の値を2とするために必要な抵抗 \(R_{3}\) [\(\Omega\)] の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、コンデンサの初期電荷は零とする。
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(1)
\(\dfrac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}\left(\dfrac{R_{1}}{2}+R_{2}\right)\)
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(2)
\(\dfrac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}\left(\dfrac{R_{2}}{3}-R_{1}\right)\)
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(3)
\(\dfrac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}}(R_{1}-R_{2})\)
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(4)
\(\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}(R_{1}+R_{2})\)
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(5)
\(\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}(R_{2}-R_{1})\)
要点
正解は(5)。\(t=0\) (スイッチ投入直後)。コンデンサCは電荷ゼロのため短絡状態とみなせます。回路は、\(R_1\) と「\(R_2\) と \(R_3\) の並列回路」の直列接続となります。
詳細解説
正解は(5)です。
1. \(t=0\) (スイッチ投入直後): コンデンサCは電荷ゼロのため短絡状態とみなせます。
回路は、\(R_1\) と「\(R_2\) と \(R_3\) の並列回路」の直列接続となります。
合成抵抗 \(Z_0 = R_1 + \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}\)
電流 \(I_0 = \dfrac{E}{R_1 + \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}}\)
2. \(t=\infty\) (定常状態): コンデンサCは充電完了し開放状態とみなせます。\(R_3\) には電流が流れません。
回路は \(R_1\) と \(R_2\) の直列接続となります。
合成抵抗 \(Z_\infty = R_1 + R_2\)
電流 \(I = \dfrac{E}{R_1 + R_2}\)
3. 条件計算: \(I_0 / I = 2\)
\(\dfrac{E / Z_0}{E / Z_\infty} = \dfrac{Z_\infty}{Z_0} = 2\)
\(Z_\infty = 2 Z_0\)
\(R_1 + R_2 = 2 \left( R_1 + \dfrac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} \right)\)
\(R_1 + R_2 = 2R_1 + \dfrac{2 R_2 R_3}{R_2 + R_3}\)
\(R_2 - R_1 = \dfrac{2 R_2 R_3}{R_2 + R_3}\)
\((R_2 - R_1)(R_2 + R_3) = 2 R_2 R_3\)
\(R_2^2 + R_2 R_3 - R_1 R_2 - R_1 R_3 = 2 R_2 R_3\)
\(R_2^2 - R_1 R_2 = R_2 R_3 + R_1 R_3\)
\(R_2(R_2 - R_1) = R_3(R_1 + R_2)\)
\(R_3 = \dfrac{R_2(R_2 - R_1)}{R_1 + R_2}\)
以上より、選択肢(5)が正解です。
