電圧 \( E \) [V]の直流電源と静電容量 \( C \) [F]の二つのコンデンサを接続した図1、図2のような二つの回路に関して、誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
（図1は並列、図2は直列）
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(1)
図1の回路のコンデンサの合成静電容量は、図2の回路の4倍である。
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(2)
コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーは、図1の回路の方が図2の回路より大きい。
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(3)
図2の回路に、さらに静電容量 \( C \) [F]のコンデンサを直列に二つ追加して、四つのコンデンサが直列になるようにすると、コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーが図1と等しくなる。
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(4)
図2の回路の電源電圧を2倍にすると、コンデンサ全体に蓄えられる電界のエネルギーが図1の回路と等しくなる。
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(5)
図1のコンデンサ一つ当たりに蓄えられる電荷は、図2のコンデンサ一つ当たりに蓄えられる電荷の2倍である。
要点
正解は(3)。図1（並列）の合成容量は \(2C\)、エネルギーは \(W_1 = \dfrac{1}{2}(2C)E^2 = CE^2\) である。図2（直列）の合成容量は \(C/2\)、エネルギーは \(W_2 = \dfrac{1}{2}(C/2)E^2 = \dfrac{1}{4} CE^2\) となる。4 個直列では合成容量が \(C/4\)、エネルギーが \(\dfrac{1}{8} CE^2\) で \(W_1\) と等しくならないため、この記述が誤りである。
詳細解説
正解は(3)です。
各回路のパラメータを確認する。
図1（並列）：合成容量 \( C_{1} = 2C \)、エネルギー \( W_{1} = \dfrac{1}{2}(2C)E^2 = CE^2 \)
図2（直列）：合成容量 \( C_{2} = \dfrac{C}{2} \)、エネルギー \( W_{2} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{C}{2})E^2 = \dfrac{1}{4}CE^2 \)
1. \( C_{1} = 4 C_{2} \) なので正しい。
2. \( W_{1} > W_{2} \) なので正しい。
3. コンデンサを4つ直列にすると、合成容量は \( \dfrac{C}{4} \) となる。エネルギーは \( \dfrac{1}{2}(\dfrac{C}{4})E^2 = \dfrac{1}{8}CE^2 \) となり、\( W_{1} \) と等しくならない。したがって、これが誤り。
4. 図2の電圧を \( 2E \) にすると、エネルギーは \( \dfrac{1}{2}(\dfrac{C}{2})(2E)^2 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{C}{2} \cdot 4E^2 = CE^2 \) となり、\( W_{1} \) と等しくなる。正しい。
5. 図1の各コンデンサの電荷 \( Q_{1} = CE \)。図2の合成電荷 \( Q_{total} = \dfrac{C}{2}E \)、直列なので各コンデンサの電荷も \( Q_{2} = \dfrac{C}{2}E \)。\( Q_{1} = 2 Q_{2} \) なので正しい。
以上より、選択肢(3)が正解です。
