20℃における抵抗値が \( R_{1} \) [\(\Omega\)]、抵抗温度係数が \( \alpha_{1} \) [\({}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}\)] の抵抗器Aと20℃における抵抗値が \( R_{2} \) [\(\Omega\)]、抵抗温度係数が \( \alpha_{2}=0 \) [\({}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}\)] の抵抗器Bが並列に接続されている。その20℃と21℃における並列抵抗値をそれぞれ \( r_{20} \) [\(\Omega\)]、\( r_{21} \) [\(\Omega\)] とし、\( \dfrac{r_{21}-r_{20}}{r_{20}} \) を変化率とする。この変化率として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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(1)
\( \dfrac{\alpha_{1}R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+\alpha_{1}^{2}R_{1}} \)
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(2)
\( \dfrac{\alpha_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+\alpha_{1}R_{1}} \)
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(3)
\( \dfrac{\alpha_{1}R_{1}}{R_{1}+R_{2}+\alpha_{1}R_{1}} \)
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(4)
\( \dfrac{\alpha_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+\alpha_{1}R_{2}} \)
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(5)
\( \dfrac{\alpha_{1}R_{1}}{R_{1}+R_{2}+\alpha_{1}R_{2}} \)
要点
正解は(2)。20℃での並列抵抗：\( r_{20} = \dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \) 21℃（温度上昇 \( \Delta T=1 \)）での抵抗値： \( R_{A}' = R_{1}(1+\alpha_{1}) \) \( R_{B}' = R_{2} \)（\( \alpha_{2}=0 \)のため不変）。
詳細解説
20℃での並列抵抗：\( r_{20} = \dfrac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \)
21℃（温度上昇 \( \Delta T=1 \)）での抵抗値：
\( R_{A}' = R_{1}(1+\alpha_{1}) \)
\( R_{B}' = R_{2} \)（\( \alpha_{2}=0 \)のため不変）
21℃での並列抵抗：
\[ r_{21} = \dfrac{R_{1}(1+\alpha_{1})R_{2}}{R_{1}(1+\alpha_{1})+R_{2}} = \dfrac{R_{1}R_{2}(1+\alpha_{1})}{R_{1}+R_{2}+\alpha_{1}R_{1}} \]
変化率 \( \dfrac{r_{21}-r_{20}}{r_{20}} = \dfrac{r_{21}}{r_{20}} - 1 \) を計算する。
\[ \dfrac{r_{21}}{r_{20}} = \dfrac{R_{1}R_{2}(1+\alpha_{1})}{R_{1}+R_{2}+\alpha_{1}R_{1}} \times \dfrac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}} = \dfrac{(1+\alpha_{1})(R_{1}+R_{2})}{R_{1}+R_{2}+\alpha_{1}R_{1}} \]
\[ \dfrac{r_{21}}{r_{20}} - 1 = \dfrac{R_{1}+R_{2} + \alpha_{1}R_{1} + \alpha_{1}R_{2} - (R_{1}+R_{2}+\alpha_{1}R_{1})}{R_{1}+R_{2}+\alpha_{1}R_{1}} = \dfrac{\alpha_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+\alpha_{1}R_{1}} \]
よって、(2)が正しい。
