図1は、静電容量 \(C\) [F] のコンデンサとコイルからなる共振回路の等価回路である。このようにコイルに内部抵抗 \(r\) [\(\Omega\)] が存在する場合は、インダクタンス \(L\) [H] と抵抗 \(r\) [\(\Omega\)] の直列回路として表すことができる。この直列回路は、コイルの抵抗 \(r\) [\(\Omega\)] が、誘導性リアクタンス \(\omega L\) [\(\Omega\)] に比べて十分小さいものとすると、図2のように、等価抵抗 \(R_{p}\) [\(\Omega\)] とインダクタンス \(L\) [H] の並列回路に変換することができる。このときの等価抵抗 \(R_{p}\) [\(\Omega\)] の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、\(I_{c}\) [A] は電流源の電流を表す。
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(2)
\(\dfrac{r}{(\omega L)^{2}}\)
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(3)
\(\dfrac{r^{2}}{\omega L}\)
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(4)
\(\dfrac{(\omega L)^{2}}{r}\)
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要点
正解は(4)。直列回路（\(r + j\omega L\)）のアドミタンス \(Y\) は、 \(Y = \dfrac{1}{r + j\omega L} = \dfrac{r - j\omega L}{r^2 + (\omega L)^2} = \dfrac{r}{r^2 + (\omega L)^2} - j\dfrac{\omega L}{r^2 + (\omega L)^2}\) こ。
詳細解説
直列回路（\(r + j\omega L\)）のアドミタンス \(Y\) は、
\(Y = \dfrac{1}{r + j\omega L} = \dfrac{r - j\omega L}{r^2 + (\omega L)^2} = \dfrac{r}{r^2 + (\omega L)^2} - j\dfrac{\omega L}{r^2 + (\omega L)^2}\)
これを並列等価回路（コンダクタンス \(G_p = 1/R_p\) とサセプタンス \(B_p = 1/(\omega L)\) の並列）と見なします。
実部（コンダクタンス）を比較すると、
\(\dfrac{1}{R_p} = \dfrac{r}{r^2 + (\omega L)^2}\)
\(R_p = \dfrac{r^2 + (\omega L)^2}{r} = r + \dfrac{(\omega L)^2}{r}\)
ここで、問題文より \(r \ll \omega L\) であるため、\(r^2\) は無視でき、第1項の \(r\) も第2項に比べて無視できると考えると、
\(R_p \approx \dfrac{(\omega L)^2}{r}\)
となります。
