問題文
図のように、z軸の正の向きに磁束密度 \( B=1.0\times10^{-3} \) Tの平等磁界が存在する真空の空間において、電気量 \( e=-4.0\times10^{-6} \) [C] の荷電粒子がyz平面上をy軸から60°の角度で①又は②の向きに速さ \( v \) [m/s] で発射された。この瞬間、荷電粒子に働くローレンツ力 \( F \) の大きさは \( 1.0\times10^{-8} \) [N]、その向きはx軸の正の向きであった。荷電粒子の速さに最も近い値 [m/s] とその向きの組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
図はタップで拡大できます。
選択肢
ローレンツ力は \( \vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) \) で表される。
与えられた条件：
\( \vec{B} \) は \( +z \) 方向。
\( \vec{F} \) は \( +x \) 方向。
\( q < 0 \) （負電荷）。
外積の向きを考える。\( \vec{F} \) が \( +x \) で \( q \) が負なので、ベクトル積 \( \vec{v} \times \vec{B} \) は \( -x \) 方向でなければならない。
\( \vec{B} \) は \( z \) 軸方向なので、\( \vec{v} \) の \( y \) 成分 \( v_y \) と \( \vec{B} \) の外積が \( x \) 成分を作る。
\( (\vec{v} \times \vec{B})_x = v_y B_z - v_z B_y = v_y B \)。
これが負になるためには、\( v_y < 0 \) でなければならない（\( B > 0 \) なので）。
図において、①は \( y > 0 \)、②は \( y < 0 \) の向きである。したがって、向きは **②** である。
次に大きさを求める。
ローレンツ力の大きさは \( F = |q| v B \sin\theta \) であるが、ここでは \( \vec{v} \) と \( \vec{B} \)（z軸）のなす角を考える。
図より、軌道はy軸から60°傾いている。
y軸とz軸は直交（90°）している。
軌道②はy軸の負の方向に対し、z軸の負の方向へ向かって傾いているか、あるいはy-z平面内のベクトルである。
ベクトルの成分分解で考えると、力に寄与するのは磁界と垂直な速度成分 \( v_{\perp} \) である。
磁界はz軸方向なので、垂直成分はy軸成分 \( v_y \) である。
図の角度60°はy軸からの角度なので、\( v_y = v \cos 60^{\circ} \)。
したがって、
\[ F = |q| (v \cos 60^{\circ}) B \]
\[ 1.0 \times 10^{-8} = (4.0 \times 10^{-6}) \times (v \times 0.5) \times (1.0 \times 10^{-3}) \]
\[ 10^{-8} = 2.0 \times 10^{-9} \times v \]
\[ v = \dfrac{1.0 \times 10^{-8}}{2.0 \times 10^{-9}} = 5.0 \text{ [m/s]} \]
よって、速さは 5.0 m/s、向きは ②。