電動機で駆動するポンプを用いて、毎時80m³の水をパイプへ通して揚程 40mの高さに持ち上げる。ポンプの効率は72%,電動機の効率は93%で、パイプの損失水頭は0.4mであり、他の損失水頭は無視できるものとする。このとき必要な電動機入力 [kW] の値として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。ただし、水の密度は \(1.00\times10^{3} \, \text{kg/m}^{3}\), 重力加速度は \(9.8 \, \text{m/s}^{2}\) とする。
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要点
正解は(4)。ポンプの電動機入力を求めるので、実揚程に損失水頭を足した全揚程40.4mを使い、流量をm³/sへ直したうえでポンプ効率と電動機効率の両方で割ります。
詳細解説
全揚程 \(H\) は実揚程と損失水頭の和です。
\[ H = 40 + 0.4 = 40.4 \, \text{m} \]
流量 \(Q\) を \(\text{m}^3/\text{s}\) に換算します。
\[ Q = \dfrac{80}{3600} = \dfrac{1}{45} \, \text{m}^3/\text{s} \]
ポンプ軸動力（出力）ではなく、電動機入力 \(P_{in}\) を求めるため、ポンプ効率 \(\eta_p\) と電動機効率 \(\eta_m\) の両方で割り戻します。
\[ P_{in} = \dfrac{K Q H g \rho}{\eta_p \eta_m} \times 10^{-3} \, [\text{kW}] \]
\[ P_{in} = \dfrac{1.0 \times (1/45) \times 40.4 \times 9.8 \times 1000}{0.72 \times 0.93} \times 10^{-3} \, \text{kW} \]
計算すると、
分子 \(\approx 9.8 \times 0.0222 \times 40.4 \times 1 \approx 8.798 \, \text{kW}\)
分母 \(= 0.72 \times 0.93 = 0.6696\)
\[ P_{in} = \dfrac{8.798}{0.6696} \approx 13.139 \, \text{kW} \]
最も近い値は 13.1 kW です。
