真空中において、図に示すように、一辺の長さが \(6\) [m] の正三角形の頂点Aに \(4\times10^{-9}\) [C] の正の点電荷が置かれ、頂点Bに \(-4\times10^{-9}\) [C] の負の点電荷が置かれている。正三角形の残る頂点を点Cとし、点Cより下した垂線と正三角形の辺ABとの交点を点Dとして、次の(a)及び(b)に答えよ。
ただし、クーロンの法則の比例定数を \(9\times10^{9}\) [N\(\cdot\)m\(^{2}\)/C\(^{2}\)] とする。
まず、\(q_{0}\) [C] の正の点電荷を点Cに置いたときに、この正の点電荷に働く力の大きさは \(F_{C}\) [N] であった。次に、この正の点電荷を点Dに移動したときに、この正の点電荷に働く力の大きさは \(F_{D}\) [N] であった。力の大きさの比 \(\dfrac{F_{C}}{F_{D}}\) の値として、正しいのは次のうちどれか。
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要点
正解は(1)。力の比の計算 電荷 \(Q = 4\times10^{-9}\) C、定数 \(k = 9\times10^9\)。1. 点Cにおける力 \(F_C\): 点CはA, Bからそれぞれ6m。
詳細解説
正解は(1)です。
力の比の計算
電荷 \(Q = 4\times10^{-9}\) C、定数 \(k = 9\times10^9\)。
1. 点Cにおける力 \(F_C\):
点CはA, Bからそれぞれ6m。
Aからの斥力 \(f_A\) とBからの引力 \(f_B\) の大きさは等しい。
\(f = k \dfrac{Q q_0}{6^2} = k \dfrac{Q q_0}{36}\)。
ベクトルは120度の角度をなすため、合力 \(F_C\) の大きさは分力 \(f\) と等しい。
\(F_C = k \dfrac{Q q_0}{36}\)。
2. 点Dにおける力 \(F_D\):
点DはABの中点。A, Bからそれぞれ3m。
Aからの斥力（右向き）とBからの引力（右向き）は同方向。
\(F_D = k \dfrac{Q q_0}{3^2} + k \dfrac{Q q_0}{3^2} = 2k \dfrac{Q q_0}{9}\)。
3. 比:
\(\dfrac{F_C}{F_D} = \dfrac{k Q q_0 / 36}{2k Q q_0 / 9} = \dfrac{1/36}{2/9} = \dfrac{1}{36} \times \dfrac{9}{2} = \dfrac{1}{8}\)。
以上より、選択肢(1)が正解です。
