問題文
電極板面積と電極板間隔が共に \(S[\mathrm{m}^{2}]\) と \(d[\mathrm{m}]\) で、一方は比誘電率が \(\varepsilon_{r1}\) の誘電体からなる平行平板コンデンサ \(C_{1}\) と、他方は比誘電率が \(\varepsilon_{r2}\) の誘電体からなる平行平板コンデンサ \(C_{2}\) がある。今、これらを図のように並列に接続し、端子 A, B間に直流電圧 \(V_{0}\) [\mathrm{V}]を加えた。このとき、コンデンサ \(C_{1}\) の電極板間の電界の強さを \(E_{1}[\mathrm{V/m}]\),電束密度を \(D_{1}[\mathrm{C/m}^{2}]\)、また、コンデンサ \(C_{2}\) の電極板間の電界の強さを \(E_{2}[\mathrm{V/m}]\), 電束密度を \(D_{2}[\mathrm{C/m}^{2}]\) とする。両コンデンサの電界の強さ \(E_{1}[\mathrm{V/m}]\) と \(E_{2}[\mathrm{V/m}]\) はそれぞれ (ア) であり、電束密度 \(D_{1}[\mathrm{C/m}^{2}]\) と \(D_{2}[\mathrm{C/m}^{2}]\) はそれぞれ (イ) である。したがって、コンデンサ \(C_{1}\) に蓄えられる電荷を \(Q_{1}\) [\mathrm{C}],コンデンサ \(C_{2}\) に蓄えられる電荷を \(Q_{2}\) [\mathrm{C}] とすると、それらはそれぞれ (ウ) となる。
ただし、電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は、無視できるものとする。また、真空の誘電率を \(\varepsilon_{0}[\mathrm{F/m}]\) とする。
上記の記述中の空白箇所(ア)~(ウ)に当てはまる式の組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
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選択肢
-
(1)
(ア)
\(E_{1}=\dfrac{\varepsilon_{r1}}{d}V_{0}\) \(E_{2}=\dfrac{\varepsilon_{r2}}{d}V_{0}\)
(イ)
\(D_{1}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r1}}{d}V_{0}\) \(D_{2}=\dfrac{\varepsilon_{r2}}{d}SV_{0}\)
(ウ)
\(Q_{1}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r1}}{d}SV_{0}\) \(Q_{2}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r2}}{d}SV_{0}\)
-
(2)
(ア)
\(E_{1}=\dfrac{\varepsilon_{r1}}{d}V_{0}\) \(E_{2}=\dfrac{\varepsilon_{r2}}{d}V_{0}\)
(イ)
\(D_{1}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r1}}{d}V_{0}\) \(D_{2}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r2}}{d}V_{0}\)
(ウ)
\(Q_{1}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r1}}{d}SV_{0}\) \(Q_{2}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r2}}{d}SV_{0}\)
-
(3)
(ア)
\(E_{1}=\dfrac{V_{0}}{d}\) \(E_{2}=\dfrac{V_{0}}{d}\)
(イ)
\(D_{1}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r1}}{d}SV_{0}\) \(D_{2}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r2}}{d}SV_{0}\)
(ウ)
\(Q_{1}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r1}}{d}V_{0}\) \(Q_{2}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r2}}{d}V_{0}\)
-
(4)
(ア)
\(E_{1}=\dfrac{V_{0}}{d}\) \(E_{2}=\dfrac{V_{0}}{d}\)
(イ)
\(D_{1}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r1}}{d}V_{0}\) \(D_{2}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r2}}{d}V_{0}\)
(ウ)
\(Q_{1}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r1}}{d}SV_{0}\) \(Q_{2}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r2}}{d}SV_{0}\)
-
(5)
(ア)
\(E_{1}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r1}}{d}SV_{0}\) \(E_{2}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r2}}{d}SV_{0}\)
(イ)
\(D_{1}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r1}}{d}V_{0}\) \(D_{2}=\dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r2}}{d}V_{0}\)
(ウ)
\(Q_{1}=\dfrac{\varepsilon_{0}}{d}SV_{0}\) \(Q_{2}=\dfrac{\varepsilon_{0}}{d}SV_{0}\)
並列接続されているため、両方のコンデンサにかかる電圧は \(V_{0}\) で等しい。
極板間距離 \(d\) も等しいため、電界の強さは等しくなる。
\[ E_{1} = E_{2} = \dfrac{V_{0}}{d} \]
電束密度 \(D\) は \(D = \varepsilon E = \varepsilon_{0}\varepsilon_{r}E\) の関係があるため、
\[ D_{1} = \varepsilon_{0}\varepsilon_{r1} \dfrac{V_{0}}{d}, \quad D_{2} = \varepsilon_{0}\varepsilon_{r2} \dfrac{V_{0}}{d} \]
蓄えられる電荷 \(Q\) は \(Q = CV\) または \(Q = DS\) より、
\[ Q_{1} = D_{1}S = \dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r1}S V_{0}}{d}, \quad Q_{2} = D_{2}S = \dfrac{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r2}S V_{0}}{d} \]
これらすべてを満たすのは(4)である。