内部抵抗が \(15\,\mathrm{k\Omega}\) の150V 測定端子と内部抵抗が \(10\,\mathrm{k\Omega}\) の100V 測定端子をもつ永久磁石可動コイル形直流電圧計がある。この直流電圧計を使用して、図のように、電流I [A]の定電流源で電流を流して抵抗Rの両端の電圧を測定した。
測定I: 150Vの測定端子で測定したところ、直流電圧計の指示値は101.0 V であった。
測定II: 100Vの測定端子で測定したところ、直流電圧計の指示値は99.00 V であった。
次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし、測定に用いた機器の指示値に誤差はないものとする。
電流 I の値 [A] として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
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要点
正解は(2)。計器やブリッジの平衡条件、接続条件を使って、測定値や未知量を求める問題です。 どの条件で計器が平衡し、どの接続で測定範囲が決まるかを回路図と対応付けて整理することが要点です。
詳細解説
この問題では、どの条件で計器が平衡し、どの接続で測定範囲が決まるかを回路図と対応付けて整理することがポイントです。
定電流源からの電流 \(I\) は抵抗 \(R\) と電圧計の内部抵抗 \(r_{v}\) に分流する。電圧計の読み \(V\) は並列合成抵抗にかかる電圧である。
\[ V = I \times \dfrac{R r_{v}}{R + r_{v}} \quad \implies \quad I = V \dfrac{R + r_{v}}{R r_{v}} = V \left( \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{r_{v}} \right) \]
これより、
測定I: \(I = 101 \left( \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{15000} \right)\)
測定II: \(I = 99 \left( \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{10000} \right)\)
電流 \(I\) は共通なので等置する。
\[ 101 \left( \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{15000} \right) = 99 \left( \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{10000} \right) \]
\[ \dfrac{101}{R} - \dfrac{99}{R} = \dfrac{99}{10000} - \dfrac{101}{15000} \]
\[ \dfrac{2}{R} = \dfrac{297 - 202}{30000} = \dfrac{95}{30000} \]
\[ R = \dfrac{60000}{95} \approx 631.6\,[\Omega] \]
最も近いのは (5) 632。
求めた \(R\) を式に代入して \(I\) を求める。
\[ I = 101 \left( \dfrac{1}{631.6} + \dfrac{1}{15000} \right) \approx 101 (0.001583 + 0.000066) \approx 101 \times 0.00165 \approx 0.166\,[\mathrm{A}] \]
最も近いのは (2) 0.17。
