図のように、極板間の厚さd [m],表面積S [m²]の平行板コンデンサAとBがある。コンデンサAの内部は、比誘電率と厚さが異なる3種類の誘電体で構成され、極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。コンデンサBの内部は、比誘電率と水平方向の断面積が異なる3種類の誘電体で構成されている。コンデンサAの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ \(E_{A1}, E_{A2}, E_{A3}\)、コンデンサBの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ \(E_{B1}, E_{B2}, E_{B3}\) とし、端効果,初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。また、真空の誘電率を \(\varepsilon_{0}[\mathrm{F/m}]\) とする。両コンデンサの上側の極板に電圧V [V]の直流電源を接続し、下側の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
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要点
正解は(2)。誘電率の違いで電界や電位分布がどう変わるかを整理して判断する問題です。 誘電率が異なる領域で何が連続し、電界や電位の分布がどう変わるかを対応付けて考えることが要点です。
詳細解説
この問題では、誘電率が異なる領域で何が連続し、電界や電位の分布がどう変わるかを対応付けて考えることがポイントです。
コンデンサAの静電容量 \(C_A\)（直列合成）：
\(1/C_A = \dfrac{d/6}{2\varepsilon_0 S} + \dfrac{d/3}{3\varepsilon_0 S} + \dfrac{d/2}{6\varepsilon_0 S} = \dfrac{d}{\varepsilon_0 S}(\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{12}) = \dfrac{10d}{36\varepsilon_0 S}\)
\(C_A = 3.6 \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}\)
コンデンサBの静電容量 \(C_B\)（並列合成）：
\(C_B = \dfrac{2\varepsilon_0 (S/6)}{d} + \dfrac{3\varepsilon_0 (S/3)}{d} + \dfrac{6\varepsilon_0 (S/2)}{d} = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}(\dfrac{1}{3} + 1 + 3) = 4.33 \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}\)
エネルギー比は容量比に等しい（電圧V共通）。
\(W_A / W_B = C_A / C_B = 3.6 / 4.33 \approx 0.83\)
