図1に示す R-L 回路において、端子a, a'間に単位階段状のステップ電圧 \(v(t)\) [V] を加えたとき、抵抗 \(R\) [\(\Omega\)] に流れる電流を \(i(t)\) [A] とすると、\(i(t)\) は図2のようになった。この回路の \(R\) [\(\Omega\)]、\(L\) [H] の値及び入力をa, a'間の電圧とし、出力を \(R\) [\(\Omega\)] に流れる電流としたときの周波数伝達関数 \(G(j\omega)\) の式として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
図2より、\(t \to \infty\) で \(i(t) = 0.1 \, \text{A}\)、初期の接線が \(0.1 \, \text{A}\) に達する時間（時定数）は \(0.01 \, \text{s}\) である。
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(1)
\(R=10, L=0.1, G(j\omega)=\dfrac{0.1}{1+j0.01\omega}\)
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(2)
\(R=10, L=1, G(j\omega)=\dfrac{0.1}{1+j0.1\omega}\)
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(3)
\(R=100, L=0.01, G(j\omega)=\dfrac{1}{10+j0.01\omega}\)
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(4)
\(R=10, L=0.1, G(j\omega)=\dfrac{1}{10+j0.01\omega}\)
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(5)
\(R=100, L=0.01, G(j\omega)=\dfrac{1}{100+j0.01\omega}\)
要点
正解は(1)。RL回路のステップ応答から抵抗値とインダクタンスを読み取り、伝達関数を作る問題です。定常電流と時定数をグラフから使うことが要点です。
詳細解説
この問題では、定常電流から \(R\) を求め、時定数 \(\tau=L/R\) から \(L\) を出して、\(G(s)=I(s)/V(s)\) に整理します。
定常電流 \(I = \dfrac{V}{R} \Rightarrow 0.1 = \dfrac{1}{R} \Rightarrow R = 10 \, [\Omega]\)。
時定数 \(\tau = \dfrac{L}{R}\)。図より \(\tau = 0.01 \, [\text{s}]\)（接線が定常値と交わる点、または63.2%到達点）。
\(0.01 = \dfrac{L}{10} \Rightarrow L = 0.1 \, [\text{H}]\)。
伝達関数 \(G(s) = \dfrac{I(s)}{V(s)} = \dfrac{1}{R+sL} = \dfrac{1}{10+0.1s}\)。
周波数伝達関数にするため \(s=j\omega\) とし、分母分子を10で割って変形すると、
\(G(j\omega) = \dfrac{1}{10(1+j0.01\omega)} = \dfrac{0.1}{1+j0.01\omega}\)。
