問題文
次の文章は、帯電した導体球に関する記述である。
真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率を \(\epsilon_{0} \mathrm{[F/m]}\)、重力加速度を \(g \mathrm{[m/s^{2}]}\) とする。A及びBは同じ大きさと質量 \(m \mathrm{[kg]}\) をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点Oから距離 \(l \mathrm{[m]}\) となる長さである。
まず、導体球A及びBにそれぞれ電荷 \(Q \mathrm{[C]}\)、\(3Q \mathrm{[C]}\) を与えて帯電させたところ、静電力による (ア) が生じ、図のようにA及びBの中心点間が \(d \mathrm{[m]}\) 離れた状態で釣り合った。ただし、導体球の直径は \(d\) に比べて十分に小さいとする。
このとき、個々の導体球において、静電力 \(F =\) (イ) \(\mathrm{[N]}\)、重力 \(mg \mathrm{[N]}\)、糸の張力 \(T \mathrm{[N]}\)、の三つの力が釣り合っている。三平方の定理より \(F^{2}+(mg)^{2}=T^{2}\) が成り立ち、張力の方向を考えると \(\dfrac{F}{T} = \dfrac{d}{2l}\) に等しい。これらより \(T\) を消去し整理すると、\(d\) が満たす式として、
\[ k\left(\dfrac{d}{2l}\right)^{3}=\sqrt{1-\left(\dfrac{d}{2l}\right)^{2}} \]
が導かれる。ただし、係数 \(k =\) (ウ) である。
次に、AとBとを一旦接触させたところAB間で電荷が移動し、同電位となった。そしてAとBとが力の釣合いの位置に戻った。接触前に比べ、距離 \(d\) は (エ) した。
図はタップで拡大できます。
選択肢
-
(1)
(イ)
\(\dfrac{3Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{16\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{3Q^{2}}\)
-
(2)
(イ)
\(\dfrac{Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{4\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{Q^{2}}\)
-
(3)
(イ)
\(\dfrac{3Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{4\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{Q^{2}}\)
-
(4)
(イ)
\(\dfrac{Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{16\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{3Q^{2}}\)
-
(5)
(イ)
\(\dfrac{Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{4\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{Q^{2}}\)
* **(ア):** 電荷 \(Q\) と \(3Q\) は同符号であるため、**反発力**が生じます。
* **(イ):** クーロンの法則より、力 \(F = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \dfrac{Q \cdot 3Q}{d^2} = \dfrac{3Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\) です。
* **(ウ):** 力の釣り合いより \(\tan\theta = \dfrac{F}{mg}\) です。幾何学的関係から \(\sin\theta = \dfrac{d/2}{l}\) なので、\(\tan\theta = \dfrac{d/2l}{\sqrt{1-(d/2l)^2}}\) となります。
式を整理すると、\(\sqrt{1-(d/2l)^2} = \dfrac{mg(d/2l)}{F}\) となります。
ここに \(F\) を代入し、\(k(d/2l)^3 = \dots\) の形になるよう係数 \(k\) を求めると、\(k = \dfrac{16\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{3Q^{2}}\) となります。
* **(エ):** 接触させると電荷の総和 \(Q+3Q=4Q\) が等分配され、それぞれ \(2Q\) となります。接触前の力の積は \(Q \times 3Q = 3Q^2\)、接触後は \(2Q \times 2Q = 4Q^2\) となり、反発力が増大します。力が大きくなるため、距離 \(d\) は**増加**します。