次の文章は、帯電した導体球に関する記述である。
真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率を \(\epsilon_{0} \mathrm{[F/m]}\)、重力加速度を \(g \mathrm{[m/s^{2}]}\) とする。A及びBは同じ大きさと質量 \(m \mathrm{[kg]}\) をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点Oから距離 \(l \mathrm{[m]}\) となる長さである。
まず、導体球A及びBにそれぞれ電荷 \(Q \mathrm{[C]}\)、\(3Q \mathrm{[C]}\) を与えて帯電させたところ、静電力による (ア) が生じ、図のようにA及びBの中心点間が \(d \mathrm{[m]}\) 離れた状態で釣り合った。ただし、導体球の直径は \(d\) に比べて十分に小さいとする。
このとき、個々の導体球において、静電力 \(F =\) (イ) \(\mathrm{[N]}\)、重力 \(mg \mathrm{[N]}\)、糸の張力 \(T \mathrm{[N]}\)、の三つの力が釣り合っている。三平方の定理より \(F^{2}+(mg)^{2}=T^{2}\) が成り立ち、張力の方向を考えると \(\dfrac{F}{T} = \dfrac{d}{2l}\) に等しい。これらより \(T\) を消去し整理すると、\(d\) が満たす式として、
\[ k\left(\dfrac{d}{2l}\right)^{3}=\sqrt{1-\left(\dfrac{d}{2l}\right)^{2}} \]
が導かれる。ただし、係数 \(k =\) (ウ) である。
次に、AとBとを一旦接触させたところAB間で電荷が移動し、同電位となった。そしてAとBとが力の釣合いの位置に戻った。接触前に比べ、距離 \(d\) は (エ) した。
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(1)
(イ)
\(\dfrac{3Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{16\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{3Q^{2}}\)
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(2)
(イ)
\(\dfrac{Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{4\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{Q^{2}}\)
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(3)
(イ)
\(\dfrac{3Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{4\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{Q^{2}}\)
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(4)
(イ)
\(\dfrac{Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{16\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{3Q^{2}}\)
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(5)
(イ)
\(\dfrac{Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\)
(ウ)
\(\dfrac{4\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{Q^{2}}\)
要点
正解は(1)。導体球の半径、電荷、表面電界の関係から静電容量や帯電限界を求める問題です。 球対称の導体で成り立つ静電容量や表面電界の基本式を押さえたうえで、半径と誘電率が結果にどう効くかを整理することが要点です。
詳細解説
正解は(1)です。
この問題では、球対称の導体で成り立つ静電容量や表面電界の基本式を押さえ、半径と誘電率が結果にどう効くかを整理することがポイントです。
・(ア): 電荷 \(Q\) と \(3Q\) は同符号であるため、反発力が生じます。
・(イ): クーロンの法則より、力 \(F = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \dfrac{Q \cdot 3Q}{d^2} = \dfrac{3Q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}d^{2}}\) です。
・(ウ): 力の釣り合いより \(\tan\theta = \dfrac{F}{mg}\) です。幾何学的関係から \(\sin\theta = \dfrac{d/2}{l}\) なので、\(\tan\theta = \dfrac{d/2l}{\sqrt{1-(d/2l)^2}}\) となります。
式を整理すると、\(\sqrt{1-(d/2l)^2} = \dfrac{mg(d/2l)}{F}\) となります。
ここに \(F\) を代入し、\(k(d/2l)^3 = \dots\) の形になるよう係数 \(k\) を求めると、\(k = \dfrac{16\pi\epsilon_{0}l^{2}mg}{3Q^{2}}\) となります。
・(エ): 接触させると電荷の総和 \(Q+3Q=4Q\) が等分配され、それぞれ \(2Q\) となります。接触前の力の積は \(Q \times 3Q = 3Q^2\)、接触後は \(2Q \times 2Q = 4Q^2\) となり、反発力が増大します。力が大きくなるため、距離 \(d\) は増加します。
以上より、選択肢(1)が正解です。
