次式に示す電圧 \(e \mathrm{[V]}\) 及び電流 \(i \mathrm{[A]}\) による電力の値 \(\mathrm{[kW]}\) として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
\[ e = 100\sin\omega t + 50\sin\left(3\omega t - \dfrac{\pi}{6}\right) \mathrm{[V]} \]
\[ i = 20\sin\left(\omega t - \dfrac{\pi}{6}\right) + 10\sqrt{3}\sin\left(3\omega t + \dfrac{\pi}{6}\right) \mathrm{[A]} \]
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要点
正解は(2)。交流では、瞬時値、実効値、位相差のどれを使うかを整理して判断する問題です。 交流量の位相関係と大きさを整理し、どの式やベクトル関係で求めるかを先に確定することが要点です。
詳細解説
正解は(2)です。
この問題では、交流量の位相関係と大きさを整理し、どの式やベクトル関係で求めるかを先に確定することがポイントです。
非正弦波交流の電力は、同じ周波数成分ごとの電力の和となります。
1. 基本波成分 (\(\omega t\)):
・電圧最大値 \(100\)、電流最大値 \(20\)
・位相差 \(\theta_1 = 0 - (-\dfrac{\pi}{6}) = \dfrac{\pi}{6}\)
・\(P_1 = \dfrac{1}{2} \times 100 \times 20 \times \cos\dfrac{\pi}{6} = 1000 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 500\sqrt{3} \approx 866 \mathrm{W}\)
2. 第3高調波成分 (\(3\omega t\)):
・電圧最大値 \(50\)、電流最大値 \(10\sqrt{3}\)
・位相差 \(\theta_3 = -\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{3}\)
・\(P_3 = \dfrac{1}{2} \times 50 \times 10\sqrt{3} \times \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = 250\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2} = 125\sqrt{3} \approx 216.5 \mathrm{W}\)
3. 合計:
・\(P = 866 + 216.5 = 1082.5 \mathrm{W} \approx 1.08 \mathrm{kW}\)
以上より、選択肢(2)が正解です。
