界磁に永久磁石を用いた小形直流電動機がある。この電動機の電機子に12Vの電圧を加えたところ、無負荷の状態で3000 \(\text{min}^{-1}\) で回転した。この電圧を維持したまま負荷を与えて、2Aの電機子電流を流したところ、損失が3W発生した。この時の回転数 \([\text{min}^{-1}]\) として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、ブラシの接触による電圧降下及び電機子反作用は無視できるものとし、損失は電機子巻線の銅損しか存在しないものとする。
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要点
正解は(2)。直流機の損失が電機子銅損だけとされているため、\(I_a^2R_a\) から抵抗を求め、誘導起電力と回転速度の比例関係で比較する問題です。
詳細解説
この問題では、銅損から電機子抵抗を求め、負荷時の誘導起電力を出して、\(E\propto N\) の関係で回転速度を求めます。
損失は電機子巻線の銅損のみであるため、\( P_L = I_a^2 R_a \) より、
\[ 3 = 2^2 \times R_a \Rightarrow R_a = \dfrac{3}{4} = 0.75 \, [\Omega] \]
無負荷時は電流がほぼ0とみなせるため（損失無視の記述より）、誘導起電力 \( E_0 \) は端子電圧に等しい。
\[ E_0 = 12 \, [\text{V}] \]
負荷時の誘導起電力 \( E \) は、
\[ E = V - I_a R_a = 12 - 2 \times 0.75 = 12 - 1.5 = 10.5 \, [\text{V}] \]
回転数 \( N \) は誘導起電力に比例するため、
\[ N = N_0 \times \dfrac{E}{E_0} = 3000 \times \dfrac{10.5}{12} = 3000 \times 0.875 = 2625 \, [\text{min}^{-1}] \]
