空気中に孤立した半径 \(a\) [m] の導体球に帯電できる最大の電荷の値[C]として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし、空気の絶縁耐力及び誘電率はそれぞれ \(E_m\) [V/m] 及び \(\varepsilon_0\) [F/m] とする。
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(1)
\(\dfrac{E_m}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\)
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(2)
\(\dfrac{E_m}{4\pi\varepsilon_0 a}\)
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(3)
\(4\pi\varepsilon_0 a E_m\)
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(4)
\(4\pi\varepsilon_0 a^2 E_m\)
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(5)
\(4\pi\varepsilon_0 a^3 E_m\)
要点
正解は(4)。帯電できる限界は、導体球表面の電界が空気の絶縁耐力 \(E_m\) に達した瞬間で決まります。表面電界 \(E=Q/(4\pi\varepsilon_0 a^2)\) に \(E_m\) を代入して最大電荷を求めればよい問題です。
詳細解説
この問題では、導体球表面の電界が絶縁耐力に達する条件をそのまま式に落とすのがポイントです。
半径 \(a\) [m] の導体球に電荷 \(Q\) [C] が帯電しているとき、導体球表面の電界の強さ \(E\) [V/m] は以下の式で表されます。
\[ E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^2} \]
この電界 \(E\) が空気の絶縁耐力 \(E_m\) に達したときが帯電できる電荷の限界となります。
\[ E_m = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^2} \]
これを \(Q\) について解くと、
\[ Q = 4\pi\varepsilon_0 a^2 E_m \]
となります。
特にコンデンサの問題では、接続前後で一定なのが電圧なのか電荷なのかを最初に決めることが重要です。合成容量を求めたあとに保存量との関係を確認すると、式の選び違いを防げます。
選択肢の値が近いときほど、途中で求めた共通電圧や全電荷が何を意味しているかを見直すと、最後の取り違えを減らせます。
