図のように、二つのLC直列共振回路 A, B があり、それぞれの共振周波数が \(f_A\) [Hz], \(f_B\) [Hz] である。これら A, B をさらに直列に接続した場合、全体としての共振周波数が \(f_{AB}\) [Hz] になった。\(f_A\) 及び \(f_{AB}\) の大小関係として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
（図：回路Aは \(L\) と \(C\)。回路Bは \(2L\) と \(C\)）
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要点
正解は(3)。各回路の共振周波数は \(f=1/(2\pi\sqrt{LC})\) で決まります。A と B をさらに直列につなぐと、インダクタンスは加算され、コンデンサは直列合成で小さくなるので、その結果を \(f_A\) と比べれば大小関係が判断できます。
詳細解説
正解は(3)です。
この問題では、A・B 単体の \(LC\) 積と、直列接続後の合成 \(LC\) 積を比べるのがポイントです。
共振周波数は \(f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) で決まります。
回路A: \(f_A = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\)
回路B: インダクタンスが \(2L\) なので、\(f_B = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{2LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}f_A \approx 0.707 f_A\)
直列接続 (A+B):
全体のインダクタンス \(L_{total} = L + 2L = 3L\)
全体の静電容量 \(C_{total} = \dfrac{C \cdot C}{C+C} = \dfrac{C}{2}\)
全体の共振周波数 \(f_{AB} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{3L \cdot \frac{C}{2}}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{1.5LC}} = \dfrac{1}{\sqrt{1.5}}f_A \approx 0.816 f_A\)
大きさの比較：
\(f_B (0.707) < f_{AB} (0.816) < f_A (1.0)\)
よって、\(f_B < f_{AB} < f_A\) となります。
以上より、選択肢(3)が正解です。
