次式に示す電圧 \(e\) [V] 及び電流 \(i\) [A] による電力の値 [kW] として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
\[ e = 100\sin\omega t + 50\sin\left(3\omega t - \dfrac{\pi}{6}\right) \text{ [V]} \]
\[ i = 20\sin\left(\omega t - \dfrac{\pi}{6}\right) + 10\sqrt{3}\sin\left(3\omega t + \dfrac{\pi}{6}\right) \text{ [A]} \]
回答を選ぶ
選択肢を押すと、すぐに結果が表示されます。
要点
正解は(2)。ひずみ波の有効電力は、基本波と第3高調波の有効電力を別々に求めて足し合わせます。周波数の異なる成分どうしは交差項を持たないので、成分ごとに処理するのが要点です。
詳細解説
正解は(2)です。
基本波成分と第3高調波成分の有効電力をそれぞれ求め、その和として全体の電力を出す問題です。
ひずみ波交流の有効電力は、同じ周波数成分ごとの電力の和となります。
\[ P = P_1 + P_3 \]
基本波成分 (\(\omega\)):
最大値 \(E_{m1} = 100\), \(I_{m1} = 20\)
位相差 \(\theta_1 = 0 - (-\dfrac{\pi}{6}) = \dfrac{\pi}{6}\)
\(P_1 = \dfrac{E_{m1} I_{m1}}{2} \cos\theta_1 = \dfrac{100 \times 20}{2} \cos\dfrac{\pi}{6} = 1000 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 500\sqrt{3} \text{ [W]}\)
第3高調波成分 (\(3\omega\)):
最大値 \(E_{m3} = 50\), \(I_{m3} = 10\sqrt{3}\)
位相差 \(\theta_3 = (-\dfrac{\pi}{6}) - (\dfrac{\pi}{6}) = -\dfrac{\pi}{3}\)
\(P_3 = \dfrac{E_{m3} I_{m3}}{2} \cos\theta_3 = \dfrac{50 \times 10\sqrt{3}}{2} \cos(-\dfrac{\pi}{3}) = 250\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2} = 125\sqrt{3} \text{ [W]}\)
合計電力:
\(P = 500\sqrt{3} + 125\sqrt{3} = 625\sqrt{3} \approx 625 \times 1.732 = 1082.5 \text{ [W]} \approx 1.08 \text{ [kW]}\)
以上より、選択肢(2)が正解です。
