図の回路のスイッチSを \(t=0\) s で閉じる。電流 \(i_S\) [A] の波形として最も適切に表すものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、スイッチSを閉じる直前に、回路は定常状態にあったとする。
（回路定数：電源1V, 抵抗1\(\Omega\), コイル1H, コンデンサ2F）
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(4)
（図：0Aから増加し、オーバーシュートして1Aに漸近）
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要点
正解は(3)。投入前の定常状態でコンデンサ電圧とコイル電流を決め、投入直後は左側の RL 応答と右側の放電電流を重ねて \(i_S\) の波形を考える問題です。初期値を押さえると、立上りと減衰の向きがはっきりします。
詳細解説
正解は(3)です。
この問題では、スイッチ投入直前のコンデンサ電圧とコイル電流を初期条件として整理するのがポイントです。
スイッチ投入前（\(t<0\)）：
定常状態ではコンデンサは開放、コイルは短絡とみなせます。
回路電流はコンデンサがあるため流れません（\(i=0\)）。
コンデンサの電圧は電源電圧と同じ1Vに充電されています。
コイルの電流は0Aです。
スイッチ投入後（\(t \ge 0\)）：
スイッチSが閉じると、回路は左右に分離されます。スイッチSに流れる電流 \(i_S\) は、左側のコイルからの電流 \(i_L\) と右側のコンデンサからの放電電流 \(i_C\) の和になります（キルヒホッフの電流則）。
1. 左側（RL回路）： 1V電源、1\(\Omega\)抵抗、1Hコイル。
電流 \(i_L\) は0から立ち上がります。
\(i_L(t) = \dfrac{E}{R}(1 - e^{-\frac{R}{L}t}) = 1(1 - e^{-t})\)
2. 右側（RC回路）： 2Fコンデンサ（初期電圧1V）、1\(\Omega\)抵抗。
コンデンサの電荷が抵抗を通じて放電されます（スイッチSを通る）。
放電電流 \(i_C(t) = \dfrac{V_0}{R} e^{-\frac{1}{CR}t} = \dfrac{1}{1} e^{-\frac{t}{2}} = e^{-0.5t}\)
合成電流 \(i_S\)：
\(i_S(t) = i_L(t) + i_C(t) = (1 - e^{-t}) + e^{-0.5t}\)
波形の考察：
・\(t=0\) のとき： \(i_S(0) = (1-1) + 1 = 1\) A。
・\(t \to \infty\) のとき： \(i_S \to 1 + 0 = 1\) A。
・中間の挙動：微分して増減を調べます。
\(\dfrac{di_S}{dt} = e^{-t} - 0.5e^{-0.5t}\)
\(t=0\) で \(\dfrac{di_S}{dt} = 1 - 0.5 = 0.5 > 0\)。つまり、初期値1Aから一度増加します。
したがって、1Aからスタートし、上に盛り上がってから再び1Aに収束する波形となります。これに該当するのは選択肢(3)です。
