真空中に置かれた平行電極板間に、直流電圧 \(V\) [V] を加えて平等電界 \(E\) [V/m] を作り、この陰極板に電子を置いた場合、初速零で出発した電子が陽極板に到達したときの速さは、\(v\) [m/s] となった。このときの電子の運動エネルギーは、電子が陽極板に到達するまでに得るエネルギーに等しいと考えられ、次の式が成立する。
\[ \dfrac{1}{2}mv^{2} = \boxed{(\text{ア})} \]
ただし、電子の電気素量を \(e\) [C], 電子の質量を \(m\) [kg] とする。
したがって、この式から電子の速さ \(v\) [m/s] は、(イ) で表される。
上記の記述中の空白箇所(ア)及び(イ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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(1)
(イ)
\(\sqrt{\dfrac{4eV}{m}}\)
-
(2)
(イ)
\(\sqrt{\dfrac{2eV}{m}}\)
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(3)
(イ)
\(\sqrt{\dfrac{4eV}{m}}\)
-
(4)
(イ)
\(\sqrt{\dfrac{2eE}{m}}\)
-
(5)
(イ)
\(\sqrt{\dfrac{4eE}{m}}\)
要点
正解は(2)。電子が得る運動エネルギーは、電位差 \(V\) を通過するときに電界から受ける仕事 \(eV\) に等しくなります。エネルギー保存をそのまま使えば、空欄の式も速さの式も素直に決まります。
詳細解説
この問題では、電子が受ける仕事 \(eV\) と運動エネルギーを直接結び付けるのがポイントです。
エネルギー保存の法則より、電子が得る運動エネルギーは、電界からされた仕事（位置エネルギーの変化）に等しくなります。
仕事 \(W = \text{電荷} \times \text{電位差} = eV\) です。
よって、
\[ \dfrac{1}{2}mv^2 = eV \]
これより (ア) は \(eV\) です。
この式を \(v\) について解くと、
\[ v^2 = \dfrac{2eV}{m} \implies v = \sqrt{\dfrac{2eV}{m}} \]
よって (イ) は \(\sqrt{\dfrac{2eV}{m}}\) です。
特にコンデンサの問題では、接続前後で一定なのが電圧なのか電荷なのかを最初に決めることが重要です。合成容量を求めたあとに保存量との関係を確認すると、式の選び違いを防げます。
選択肢の値が近いときほど、途中で求めた共通電圧や全電荷が何を意味しているかを見直すと、最後の取り違えを減らせます。
