問題文
図1は、静電容量 \(C\) [F] のコンデンサとコイルからなる共振回路の等価回路である。このようにコイルに内部抵抗 \(r\) [\(\Omega\)] が存在する場合は、インダクタンス \(L\) [H] と抵抗 \(r\) [\(\Omega\)] の直列回路として表すことができる。この直列回路は、コイルの抵抗 \(r\) [\(\Omega\)] が、誘導性リアクタンス \(\omega L\) [\(\Omega\)] に比べて十分小さいものとすると、図2のように、等価抵抗 \(R_p\) [\(\Omega\)] とインダクタンス \(L\) [H] の並列回路に変換することができる。このときの等価抵抗 \(R_p\) [\(\Omega\)] の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、\(I_c\) [A] は電流源の電流を表す。
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選択肢
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(2)
\(\dfrac{r}{(\omega L)^2}\)
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(3)
\(\dfrac{(\omega L)^2}{r}\)
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(4)
\(\dfrac{r^2}{\omega L}\)
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直列回路（\(r + j\omega L\)）のアドミタンス \(Y_s\) は、
\[ Y_s = \dfrac{1}{r + j\omega L} = \dfrac{r - j\omega L}{r^2 + (\omega L)^2} = \dfrac{r}{r^2 + (\omega L)^2} - j\dfrac{\omega L}{r^2 + (\omega L)^2} \]
並列回路（\(R_p\) // \(L\)）のアドミタンス \(Y_p\) は、
\[ Y_p = \dfrac{1}{R_p} + \dfrac{1}{j\omega L} = \dfrac{1}{R_p} - j\dfrac{1}{\omega L} \]
（※問題文の含意として、インダクタンス値は近似的に変わらないとしています）
実部どうしを等しいと置きます。また、\(r \ll \omega L\) より、分母の \(r^2\) を無視すると、
\[ \dfrac{1}{R_p} = \dfrac{r}{r^2 + (\omega L)^2} \approx \dfrac{r}{(\omega L)^2} \]
よって、
\[ R_p = \dfrac{(\omega L)^2}{r} \]
となります。