図1は、静電容量 \(C\) [F] のコンデンサとコイルからなる共振回路の等価回路である。このようにコイルに内部抵抗 \(r\) [\(\Omega\)] が存在する場合は、インダクタンス \(L\) [H] と抵抗 \(r\) [\(\Omega\)] の直列回路として表すことができる。この直列回路は、コイルの抵抗 \(r\) [\(\Omega\)] が、誘導性リアクタンス \(\omega L\) [\(\Omega\)] に比べて十分小さいものとすると、図2のように、等価抵抗 \(R_p\) [\(\Omega\)] とインダクタンス \(L\) [H] の並列回路に変換することができる。このときの等価抵抗 \(R_p\) [\(\Omega\)] の値を表す式として、正しいのは次のうちどれか。
ただし、\(I_c\) [A] は電流源の電流を表す。
図はタップで拡大できます。
回答を選ぶ
選択肢を押すと、すぐに結果が表示されます。
-
-
(2)
\(\dfrac{r}{(\omega L)^2}\)
-
(3)
\(\dfrac{(\omega L)^2}{r}\)
-
(4)
\(\dfrac{r^2}{\omega L}\)
-
要点
正解は(3)。直列の \(r+j\omega L\) を並列の \(R_p // j\omega L\) に置き換える問題で、まず直列回路のアドミタンスを求めて実部を比べます。条件 \(r \ll \omega L\) を使うと並列抵抗の近似式がきれいに出ます。
詳細解説
この問題では、直列回路のアドミタンスを展開して並列回路の実部と虚部に対応付けるのがポイントです。
直列回路（\(r + j\omega L\)）のアドミタンス \(Y_s\) は、
\[ Y_s = \dfrac{1}{r + j\omega L} = \dfrac{r - j\omega L}{r^2 + (\omega L)^2} = \dfrac{r}{r^2 + (\omega L)^2} - j\dfrac{\omega L}{r^2 + (\omega L)^2} \]
並列回路（\(R_p\) // \(L\)）のアドミタンス \(Y_p\) は、
\[ Y_p = \dfrac{1}{R_p} + \dfrac{1}{j\omega L} = \dfrac{1}{R_p} - j\dfrac{1}{\omega L} \]
実部どうしを等しいと置きます。また、\(r \ll \omega L\) より、分母の \(r^2\) を無視すると、
\[ \dfrac{1}{R_p} = \dfrac{r}{r^2 + (\omega L)^2} \approx \dfrac{r}{(\omega L)^2} \]
よって、
\[ R_p = \dfrac{(\omega L)^2}{r} \]
となります。
