数の表現法について、次の(a)及び(b)の問に答えよ。
10進法で表される正の整数 \(N\) は、10進法の2以上の整数 \(r\) を用いて、次式のように表すことができる。
\(N = a_n r^n + a_{n-1} r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0\)
ただし、\(a_i\) は整数であり、\(0 \leqq a_i < r\) である。
このとき、\(N\) を \(r\) 進法で次のように表現することとする。
\((a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0)_r\)
この表現方法によって次の計算が成り立つとき、\(r\) の値として、正しいものを次の(1)〜(5)のうちから一つ選べ。
\((122)_r - (42)_r = (40)_r\)
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要点
正解は(2)。未知の基数 \(r\) を含む式を 10 進の方程式へ直せば、\(r=6\) と決まります。各桁の重みをそのまま式に起こす問題です。
詳細解説
各桁の重みを使って未知基数の式を立てる問題です。
与式を10進数の方程式に変換する。
\((1 \cdot r^2 + 2 \cdot r + 2) - (4 \cdot r + 2) = (4 \cdot r + 0)\)
\(r^2 + 2r + 2 - 4r - 2 = 4r\)
\(r^2 - 2r = 4r \implies r^2 - 6r = 0\)
\(r(r - 6) = 0\)
\(r > 4\)（数字に4が使われているため）より、\(r = 6\)。
