問題文
図のように、電極面積 \( 0.1 \mathrm{m}^{2} \)、電極間隔 \( 6 \mathrm{mm} \) の平行平板コンデンサに、比誘電率 \( \varepsilon_{r1}=2 \)、厚さ \( 2 \mathrm{mm} \) 及び比誘電率 \( \varepsilon_{r2}=4 \)、厚さ \( 4 \mathrm{mm} \) の2種類の誘電体が電極と平行に挿入されている。このコンデンサに \( 12 \mathrm{V} \) の直流電圧を印加したとき、蓄えられる電荷の値 \( [\mathrm{C}] \) として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、真空の誘電率 \( \varepsilon_{0}=8.85\times10^{-12} \mathrm{F/m} \) とし、コンデンサの端効果は無視するものとする。
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選択肢
誘電体が層状に入っているため、2つのコンデンサの直列接続として考えることができる。
上側の誘電体の容量 \( C_1 \)（\( \varepsilon_{r1}=2, d_1=2\mathrm{mm} \)）は、
\[
C_1 = \dfrac{\varepsilon_0 \varepsilon_{r1} S}{d_1} = \dfrac{\varepsilon_0 \times 2 \times 0.1}{2 \times 10^{-3}} = \dfrac{0.1 \varepsilon_0}{10^{-3}} = 100 \varepsilon_0
\]
下側の誘電体の容量 \( C_2 \)（\( \varepsilon_{r2}=4, d_2=4\mathrm{mm} \)）は、
\[
C_2 = \dfrac{\varepsilon_0 \varepsilon_{r2} S}{d_2} = \dfrac{\varepsilon_0 \times 4 \times 0.1}{4 \times 10^{-3}} = \dfrac{0.1 \varepsilon_0}{10^{-3}} = 100 \varepsilon_0
\]
\( C_1 = C_2 \) であるため、合成静電容量 \( C \) は、
\[
C = \dfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \dfrac{C_1}{2} = 50 \varepsilon_0
\]
蓄えられる電荷 \( Q \) は、
\[
Q = CV = 50 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 12 = 600 \times 8.85 \times 10^{-12} = 5310 \times 10^{-12} = 5.31 \times 10^{-9} \, \mathrm{C}
\]
よって、最も近い値は \( 5.3\times10^{-9} \) である。