図のように、二つの正弦波交流電圧源 \( e_{1} [\mathrm{V}] \)、 \( e_{2} [\mathrm{V}] \) が直列に接続されている回路において、合成電圧 \( v [\mathrm{V}] \) の最大値は \( e_{1} \) の最大値の (ア) 倍となり、その位相は \( e_{1} \) を基準として (イ) \( [\mathrm{rad}] \) の (ウ) となる。
上記の記述中の空白箇所 (ア)～(ウ) に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
\[ e_{1} = E \sin(\omega t + \theta) \]
\[ e_{2} = \sqrt{3} E \sin(\omega t + \theta + \frac{\pi}{2}) \]
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要点
正解は(3)。\(e_1\) と \(e_2\) は 90 度ずれたベクトルなので、合成振幅は \(\sqrt{E^2+(\sqrt{3}E)^2}=2E\)、位相は \(\pi/3\) の進みになります。ベクトル和を一度取れば答えがそのまま出ます。
詳細解説
直交する二つの交流電圧ベクトルを足し合わせて、合成振幅と位相を読む問題です。
\( e_1 \) を基準ベクトル \( \dot{E}_1 = E \angle 0 \) とすると、\( e_2 \) は \( \pi/2 \)（90度）進んでいるため \( \dot{E}_2 = j\sqrt{3}E \) と表せる。
合成電圧 \( \dot{V} = \dot{E}_1 + \dot{E}_2 = E + j\sqrt{3}E \)。
最大値（振幅）は、
\[ |\dot{V}| = \sqrt{E^2 + (\sqrt{3}E)^2} = \sqrt{E^2 + 3E^2} = \sqrt{4E^2} = 2E \]
したがって、\( e_1 \) の最大値 \( E \) の 2倍となる。
位相角 \( \phi \) は、
\[ \phi = \tan^{-1}\left( \dfrac{\sqrt{3}E}{E} \right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \dfrac{\pi}{3} \, \mathrm{rad} \]
虚部が正であるため「進み」となる。
