\( 4 \Omega \) の抵抗と静電容量が \( C [\mathrm{F}] \) のコンデンサを直列に接続したRC回路がある。このRC回路に、周波数 \( 50 \mathrm{Hz} \) の交流電圧 \( 100 \mathrm{V} \) の電源を接続したところ、 \( 20 \mathrm{A} \) の電流が流れた。では、このRC回路に、周波数 \( 60 \mathrm{Hz} \) の交流電圧 \( 100 \mathrm{V} \) の電源を接続したとき、RC回路に流れる電流の値 \( [\mathrm{A}] \) として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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要点
正解は(3)。50 Hz のときの電流からまずコンデンサリアクタンスを求め、次に 60 Hz へ換算してインピーダンスを作り直す問題です。周波数が上がると \(X_C\) が小さくなることを押さえれば流れが見えます。
詳細解説
この問題では、50 Hz 時点のインピーダンスから \(X_C\) を求め、60 Hz の \(X_C\) へ換算し直すのがポイントです。
\( 50 \mathrm{Hz} \) のとき、回路のインピーダンス \( Z_{50} \) は、
\[ Z_{50} = \dfrac{100}{20} = 5 \, \Omega \]
抵抗 \( R = 4 \Omega \) なので、リアクタンス \( X_{C50} \) は、
\[ X_{C50} = \sqrt{Z_{50}^2 - R^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \, \Omega \]
周波数が \( 60 \mathrm{Hz} \) になると、コンデンサのリアクタンスは周波数に反比例するため、
\[ X_{C60} = X_{C50} \times \dfrac{50}{60} = 3 \times \dfrac{5}{6} = 2.5 \, \Omega \]
\( 60 \mathrm{Hz} \) でのインピーダンス \( Z_{60} \) は、
\[ Z_{60} = \sqrt{4^2 + 2.5^2} = \sqrt{16 + 6.25} = \sqrt{22.25} \approx 4.717 \, \Omega \]
流れる電流 \( I_{60} \) は、
\[ I_{60} = \dfrac{100}{4.717} \approx 21.2 \, \mathrm{A} \]
