三相3線式交流送電線があり、電線1線当たりの抵抗が \(R \ [\Omega]\)、受電端の線間電圧が \(V_{r} \ [\mathrm{V}]\) である。今、受電端から力率 \(\cos \theta\) の負荷に三相電力 \(P \ [\mathrm{W}]\) を供給しているものとする。
この送電線での3線の電力損失を \(P_{L}\) とすると、電力損失率 \(\dfrac{P_{L}}{P}\) を表す式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、線路のインダクタンス、静電容量及びコンダクタンスは無視できるものとする。
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(1)
\(\dfrac{RP}{3(V_{r} \cos \theta)^{2}}\)
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(2)
\(\dfrac{RP}{(V_{r} \cos \theta)^{2}}\)
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(3)
\(\dfrac{RP^{2}}{(V_{r} \cos \theta)^{2}}\)
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(4)
\(\dfrac{3RP}{(V_{r} \cos \theta)^{2}}\)
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(5)
\(\dfrac{3RP^{2}}{(V_{r} \cos \theta)^{2}}\)
要点
正解は(2)。三相送電で有効電力を力率 1 で送るなら、\(P=\sqrt{3}V_r I\) と線路損失 \(P_{\mathrm{loss}}=3I^2R\) を組み合わせます。受電端電圧一定のまま、送れる有効電力を線路抵抗から決める問題です。
詳細解説
三相送電線の電流と損失を、有効電力の式と一緒に使って整理する問題です。
線路電流を \(I\) とすると、三相電力 \(P\) は、
\[ P = \sqrt{3} V_r I \cos \theta \]
より、
\[ I = \dfrac{P}{\sqrt{3} V_r \cos \theta} \]
3線の電力損失 \(P_L\) は、
\[ P_L = 3 I^2 R = 3 R \left( \dfrac{P}{\sqrt{3} V_r \cos \theta} \right)^2 = 3 R \dfrac{P^2}{3 V_r^2 \cos^2 \theta} = \dfrac{R P^2}{V_r^2 \cos^2 \theta} \]
電力損失率は、
\[ \dfrac{P_L}{P} = \dfrac{1}{P} \cdot \dfrac{R P^2}{V_r^2 \cos^2 \theta} = \dfrac{R P}{V_r^2 \cos^2 \theta} = \dfrac{RP}{(V_r \cos \theta)^2} \]
したがって、(2)が正解です。
