図のように高低差のない支持点A, Bで支持されている径間 \(S\) が100mの架空電線路において、導体の温度が30℃のとき、たるみ \(D\) は2mであった。
導体の温度が60℃になったとき、たるみ \(D\) の値 \([\mathrm{m}]\) として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、電線の線膨張係数は1℃につき \(1.5 \times 10^{-5}\) とし、張力による電線の伸びは無視するものとする。
（図：A-B間 \(S=100\mathrm{m}\)、たるみ \(D=2\mathrm{m}\)）
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要点
正解は(3)。温度変化で電線が伸びると、こう長が増えてたるみも増えます。30 ℃ と 60 ℃ の実長差を、近似式 \(L=S+\dfrac{8D^2}{3S}\) と熱膨張でつないで解く問題です。
詳細解説
温度上昇による電線伸びと、たるみの近似式を組み合わせて解く問題です。
電線の実長 \(L\) は、近似式 \(L = S + \dfrac{8D^2}{3S}\) で求められます。
30℃のとき：
\[ L_{30} = 100 + \dfrac{8 \times 2^2}{3 \times 100} = 100 + \dfrac{32}{300} \approx 100.1067 \ [\mathrm{m}] \]
温度上昇 \(\Delta t = 60 - 30 = 30 \ [\mathrm{^\circ C}]\) による伸び \(\Delta L\) は、
\[ \Delta L = L_{30} \times \alpha \times \Delta t \approx 100 \times 1.5 \times 10^{-5} \times 30 = 0.045 \ [\mathrm{m}] \]
（\(L_{30}\) はほぼ100mとして計算）
60℃のときの実長 \(L_{60}\)：
\[ L_{60} = L_{30} + \Delta L = 100.1067 + 0.045 = 100.1517 \ [\mathrm{m}] \]
60℃のときのたるみ \(D'\) を求めると、
\[ 100.1517 = 100 + \dfrac{8 D'^2}{300} \]
\[ 0.1517 = \dfrac{8 D'^2}{300} \]
\[ D'^2 = \dfrac{0.1517 \times 300}{8} \approx 5.689 \]
\[ D' = \sqrt{5.689} \approx 2.385 \ [\mathrm{m}] \]
したがって、最も近い(3)が正解です。
