ある架空電線路の支持点間は200m, たるみは3.0mである。この架空電線路の電線と単位長さあたりの重量が同じ電線を用い、この架空電線路と同じ水平方向の引張強さで支持点間240mを架線する。このときの電線の実長 \(L\) \([\text{m}]\) として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし、いずれの架空電線路においても二つの支持点の高さは同一とする。
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要点
正解は(4)。量の定義と単位の対応を一つずつ確認しながら、誤った組合せを消していく問題です。 各物理量の意味を式に戻してたどり、単位が何を表しているかを取り違えずに判断することが要点です。 途中で求めた量の単位と意味を確認すると、近い選択肢でも取り違えにくくなります。
詳細解説
この問題では、各物理量の意味を式に戻してたどり、単位が何を表しているかを取り違えずに判断することがポイントです。
電線の実長 \(L\) は、径間を \(S\)、たるみを \(D\) とすると近似式 \(L = S + \dfrac{8D^2}{3S}\) で表されます。
また、たるみ \(D\) は、電線重量 \(w\)、水平張力 \(T\) を用いて \(D = \dfrac{wS^2}{8T}\) で表されます。
条件より、\(w\) と \(T\) は両ケースで同じであるため、\(\dfrac{D}{S^2} = \dfrac{w}{8T} = \text{一定}\) となります。
ケース1：\(S_1 = 200\), \(D_1 = 3\)
ケース2：\(S_2 = 240\) のときの \(D_2\) を求める。
定数 \(K = \dfrac{D_1}{S_1^2} = \dfrac{3}{200^2}\)
\(D_2 = K \cdot S_2^2 = \dfrac{3}{200^2} \times 240^2 = 3 \times \left(\dfrac{240}{200}\right)^2 = 3 \times 1.2^2 = 3 \times 1.44 = 4.32 \text{m}\)
求める実長 \(L_2\) は、
\[ L_2 = 240 + \dfrac{8 \times 4.32^2}{3 \times 240} = 240 + \dfrac{8 \times 18.6624}{720} = 240 + 0.20736 \]
最も近い値は 240.21 です。
