問題文
(選択問題)
図は、出力信号を入力信号 \(x\) に一致させるように動作するフィードバック制御系のブロック線図である。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
(a)で求めた一巡伝達関数において、 \(\omega\) を変化させることで得られるベクトル軌跡はどのような曲線を描くか、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
図はタップで拡大できます。
選択肢
\(G_o(j\omega) = \dfrac{2}{1 + j\omega 0.5}\) のベクトル軌跡。
\[
G_o(j\omega)=\frac{2}{1+j0.5\omega}
=\frac{2(1-j0.5\omega)}{1+0.25\omega^2}
\]
より、実部を \(x\)、虚部を \(y\) とすると
\[
x=\frac{2}{1+0.25\omega^2}, \qquad
y=-\frac{\omega}{1+0.25\omega^2}
\]
である。
この 2 式から \(\omega\) を消去すると、
\[
(x-1)^2+y^2=1
\]
となるので、軌跡は中心 \((1,0)\)、半径 \(1\) の円である。
ただし \(\omega \ge 0\) では虚部 \(y\le 0\) だから、第4象限側の半円だけを通る。
\(\omega = 0\) のとき
\[
G_o=2
\]
で、実軸上の点 \(2.0\) から始まる。
また、\(\omega \to \infty\) で
\[
G_o \to 0
\]
となり、原点へ近づく。
さらに、
\[
\omega=2 \text{ rad/s}
\]
のとき
\[
G_o=\frac{2}{1+j}=1-j
\]
となるので、\(-45^\circ\) 方向の点 \((1,-1)\) を通る。
これらを満たす図は (3) である。