直流電圧 1000 [V] の電源で充電された静電容量 8 [µF] の平行平板コンデンサがある。 コンデンサを電源から外した後に電荷を保持したままコンデンサの電極間距離を最初の距離の \( \dfrac{1}{2} \) に縮めたとき、静電容量 [µF] と静電エネルギー [J] の値の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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要点
正解は(2)。電極間距離 \( d \) を \( \dfrac{1}{2} \) にすると、静電容量 \( C' \) は距離に反比例するため2倍になります。電源を外しているため電荷 \( Q \) は不変です。
詳細解説
初期状態の静電容量 \( C = 8 \) [µF]、電圧 \( V = 1000 \) [V]。
蓄えられる電荷 \( Q = CV = 8 \times 10^{-6} \times 1000 = 8 \times 10^{-3} \) [C]。
初期エネルギー \( W = \dfrac{1}{2}CV^2 = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 10^{-6} \times (10^3)^2 = 4 \) [J]。
電極間距離 \( d \) を \( \dfrac{1}{2} \) にすると、静電容量 \( C' \) は距離に反比例するため2倍になります。
\[
C' = \varepsilon \dfrac{S}{d/2} = 2 \varepsilon \dfrac{S}{d} = 2C = 16 \, [\mathrm{\mu F}]
\]
電源を外しているため電荷 \( Q \) は不変です。変化後の静電エネルギー \( W' \) は、
\[
W' = \dfrac{Q^2}{2C'} = \dfrac{Q^2}{2(2C)} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{Q^2}{2C} = \dfrac{1}{2} W = 2 \, [\mathrm{J}]
\]
したがって、静電容量は 16 [µF]、静電エネルギーは 2 [J] となります。
