20 [℃] における抵抗値が \( R_{1} \) [Ω]、抵抗温度係数が \( \alpha_{1} \) [℃\(^{-1}\)] の抵抗器 A と20 [℃] における抵抗値が \( R_{2} \) [Ω]、抵抗温度係数が \( \alpha_{2}=0 \) [℃\(^{-1}\)] の抵抗器 B が並列に接続されている。 その20 [℃] と21 [℃] における並列抵抗値をそれぞれ \( r_{20} \) [Ω]、\( r_{21} \) [Ω] とし、\( \dfrac{r_{21}-r_{20}}{r_{20}} \) を変化率とする。 変化率として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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(1)
\( \dfrac{\alpha_{1}R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+{\alpha_{1}}^{2}R_{1}} \)
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(2)
\( \dfrac{\alpha_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+\alpha_{1}R_{1}} \)
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(3)
\( \dfrac{\alpha_{1}R_{1}}{R_{1}+R_{2}+\alpha_{1}R_{1}} \)
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(4)
\( \dfrac{\alpha_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+\alpha_{1}R_{2}} \)
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(5)
\( \dfrac{\alpha_{1}R_{1}}{R_{1}+R_{2}+\alpha_{1}R_{2}} \)
要点
正解は(2)。20℃における合成抵抗 \( r_{20} \) は、 21℃（温度上昇 \( \Delta T = 1 \)）では、\( R_1 \) は \( R_1(1+\alpha_1) \) になり、\( R_2 \) は変化しません。
詳細解説
20℃における合成抵抗 \( r_{20} \) は、
\[ r_{20} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \]
21℃（温度上昇 \( \Delta T = 1 \)）では、\( R_1 \) は \( R_1(1+\alpha_1) \) になり、\( R_2 \) は変化しません。
\[ r_{21} = \dfrac{R_1(1+\alpha_1) R_2}{R_1(1+\alpha_1) + R_2} = \dfrac{R_1 R_2(1+\alpha_1)}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1} \]
変化率を計算します。
\[
\dfrac{r_{21}}{r_{20}} = \dfrac{R_1 R_2(1+\alpha_1)}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1} \cdot \dfrac{R_1 + R_2}{R_1 R_2} = \dfrac{(1+\alpha_1)(R_1 + R_2)}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1}
\]
\[
\dfrac{r_{21} - r_{20}}{r_{20}} = \dfrac{r_{21}}{r_{20}} - 1 = \dfrac{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1 + \alpha_1 R_2 - (R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1)}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1} = \dfrac{\alpha_1 R_2}{R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1}
\]
