問題文
図の直流回路において、200 [V] の直流電源から流れ出る電流が 25 [A] である。 16 [Ω] と \( r \) [Ω] の抵抗の接続点aの電位を \( V_{a} \) [V]、8 [Ω] と \( R \) [Ω] の抵抗の接続点bの電位を \( V_{b} \) [V] とする。 \( V_{a}=V_{b} \) となる \( r \) [Ω] と \( R \) [Ω] の値の組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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選択肢
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(1)
\( r \): 2.9, \( R \): 5.8
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(2)
\( r \): 4.0, \( R \): 8.0
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(3)
\( r \): 5.8, \( R \): 2.9
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(4)
\( r \): 8.0, \( R \): 4.0
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(5)
\( r \): 8.0, \( R \): 16
全体の合成抵抗はオームの法則より、\( \dfrac{200}{25} = 8 \, [\Omega] \) です。
\( V_a = V_b \) という条件は、ブリッジ回路の平衡条件と同じであり、抵抗の比が等しくなります。
\[ 16 : r = 8 : R \implies 16R = 8r \implies r = 2R \]
左側の枝の抵抗は \( 16 + r = 16 + 2R \)、右側の枝の抵抗は \( 8 + R \) です。
これらが並列に接続されているため、合成抵抗の式は：
\[
\dfrac{1}{\frac{1}{16+2R} + \frac{1}{8+R}} = 8
\]
分母を計算すると、
\[
\dfrac{1}{2(8+R)} + \dfrac{1}{8+R} = \dfrac{1 + 2}{2(8+R)} = \dfrac{3}{2(8+R)}
\]
したがって、合成抵抗は \( \dfrac{2(8+R)}{3} = 8 \)。
\[
2(8+R) = 24 \implies 8+R = 12 \implies R = 4 \, [\Omega]
\]
よって、\( r = 2R = 8 \, [\Omega] \)。