図のように、可変抵抗 \( R_{1} \) [Ω]、\( R_{2} \) [Ω]、抵抗 \( R_{x} \) [Ω]、電源 \( E \) [V] からなる直流回路がある。 次に示す条件1のときの \( R_{x} \) [Ω] に流れる電流 \( I \) [A] の値と条件2のときの電流 \( I \) [A] の値は等しくなった。 このとき、\( R_{x} \) [Ω] の値として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
条件1: \( R_{1}=90 \) [Ω]、\( R_{2}=6 \) [Ω]
条件2: \( R_{1}=70 \) [Ω]、\( R_{2}=4 \) [Ω]
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要点
正解は(4)。抵抗 \( R_x \) に流れる電流 \( I \) は、分流の法則を用いて求められます。回路全体の合成抵抗は \( R_1 + \dfrac{R_2 R_x}{R_2 + R_x} \) なので、全電流 \( I_{total} \) は、 \( R_x \) に流れる電流 \( I \) は、。
詳細解説
抵抗 \( R_x \) に流れる電流 \( I \) は、分流の法則を用いて求められます。
回路全体の合成抵抗は \( R_1 + \dfrac{R_2 R_x}{R_2 + R_x} \) なので、全電流 \( I_{total} \) は、
\[ I_{total} = \dfrac{E}{R_1 + \frac{R_2 R_x}{R_2 + R_x}} \]
\( R_x \) に流れる電流 \( I \) は、
\[ I = I_{total} \times \dfrac{R_2}{R_2 + R_x} = \dfrac{E R_2}{R_1(R_2 + R_x) + R_2 R_x} \]
条件1（\( R_1=90, R_2=6 \)）を代入：
\[ I_1 = \dfrac{6E}{90(6 + R_x) + 6 R_x} = \dfrac{6E}{540 + 96 R_x} \]
条件2（\( R_1=70, R_2=4 \)）を代入：
\[ I_2 = \dfrac{4E}{70(4 + R_x) + 4 R_x} = \dfrac{4E}{280 + 74 R_x} \]
\( I_1 = I_2 \) より、
\[ \dfrac{6}{540 + 96 R_x} = \dfrac{4}{280 + 74 R_x} \implies \dfrac{3}{540 + 96 R_x} = \dfrac{2}{280 + 74 R_x} \]
\[ 3(280 + 74 R_x) = 2(540 + 96 R_x) \]
\[ 840 + 222 R_x = 1080 + 192 R_x \]
\[ 30 R_x = 240 \implies R_x = 8 \, [\Omega] \]
