大きさが等しい二つの導体球A、Bがある。両導体球に電荷が蓄えられている場合、両導体球の間に働く力は、導体球に蓄えられている電荷の積に比例し、導体球の中心間距離の2乗に反比例する。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
この場合の比例定数を求める目的で、導体球Aに \(+4\times10^{-8}\text{C}\)、導体球Bに \(+6\times10^{-8}\text{C}\) の電荷を与えて、導体球の中心間距離で \(0.3\text{m}\) 隔てて両導体球を置いたところ、両導体球間 \(2.4\times10^{-4}\text{N}\) の反発力が働いた。この結果から求められる比例定数 \([\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}]\) として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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要点
正解は(3)。クーロンの法則 \(F=kQ_AQ_B/r^2\) に数値を代入して、比例定数 \(k\) をそのまま求める問題です。計算すると \(9\times10^9\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}\) になります。
詳細解説
この問題では、クーロンの法則に与えられた数値を直接代入して比例定数を求めることがポイントです。ここで出てくる値は真空中のクーロン定数そのもので、標準的な \(9\times10^9\) に落ち着くかを確認すると見直しにもなります。単位が \(\mathrm{N\cdot m^2/C^2}\) になることまで確認すると、比例定数として妥当か判断しやすくなります。
クーロンの法則
\[
F = k \frac{Q_A Q_B}{r^2}
\]
より、
\[
k = \frac{Fr^2}{Q_A Q_B}
= \frac{2.4\times 10^{-4}\times (0.3)^2}{(4\times 10^{-8})(6\times 10^{-8})}
= 9\times 10^9 \ \mathrm{[N\cdot m^2/C^2]}
\]
となる。
指数が大きく動くので、\(10^{-4}\)、\(10^{-8}\)、\(0.3^2\) の扱いを落ち着いて整理することが大切です。
