問題文
図のように、\( R \) [Ω] の抵抗、静電容量 \( C \) [F] のコンデンサ、インダクタンス \( L \) [H] のコイルからなる平衡三相負荷に線間電圧 \( V \) [V] の対称三相交流電源を接続した回路がある。 次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし、交流電源電圧の角周波数は \( \omega \) [rad/s] とする。
三相電源からみた平衡三相負荷の力率が1になったとき、インダクタンス \( L \) [H] と静電容量 \( C \) [F] のコンデンサの関係を示す式として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
図はタップで拡大できます。
選択肢
-
(1)
\( L=\dfrac{3C^{2}R^{2}}{1+9(\omega CR)^{2}} \)
-
(2)
\( L=\dfrac{3CR^{2}}{1+9(\omega CR)^{2}} \)
-
(3)
\( L=\dfrac{3C^{2}R}{1+9(\omega CR)^{2}} \)
-
(4)
\( L=\dfrac{9CR^{2}}{1+9(\omega CR)^{2}} \)
-
(5)
\( L=\dfrac{R}{1+9(\omega CR)^{2}} \)
負荷のデルタ部分をスター変換すると、\( R \)（スター）と \( C_{\Delta} \) が並列接続されている状態の \( 3C \)（スター換算の容量）になります。
負荷1相分のアドミタンス（スター換算）は \( Y = \dfrac{1}{R} + j3\omega C \)。
インピーダンスは \( Z_{load} = \dfrac{1}{Y} = \dfrac{R}{1 + j3\omega CR} = \dfrac{R(1 - j3\omega CR)}{1 + 9(\omega CR)^2} \)。
線路のインダクタンス \( L \) を含む全インピーダンスの虚部が0になる（共振）条件より、
\[ \omega L - \dfrac{3\omega CR^2}{1 + 9(\omega CR)^2} = 0 \implies L = \dfrac{3CR^2}{1 + 9(\omega CR)^2} \]