真空中に \(Q\) \([\text{C}]\) の電荷をもつ半径 \(r\) \([\text{m}]\) の球状導体がある。ここで、真空の空間を比誘電率2の絶縁体の液体で満たしたとすると、静電気に関する記述として、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。ただし、無限遠点の電位を零電位とする。
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(1)
球状導体表面の電位は、液体を満たす前の2倍になった。
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(2)
球状導体表面の電界の強さは、液体を満たす前の2倍になった。
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(3)
球状導体表面の電束密度は、液体を満たす前の2倍になった。
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(4)
球状導体から出る電気力線の本数は、液体を満たす前の2倍になった。
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(5)
球状導体の静電容量は、液体を満たす前の2倍になった。
要点
正解は(5)。比誘電率が2になると、球状導体の電位や電界は半分になり、静電容量は2倍になります。各量が \(\varepsilon\) に比例するのか反比例するのかを式で確認すれば、正しい記述は静電容量だけだと分かります。
詳細解説
この問題では、球状導体に関する各式の中で、誘電率 \(\varepsilon\) がどこに入っているかを一つずつ確認することがポイントです。
比誘電率 \(\varepsilon_r = 2\) の液体で満たすと、誘電率は \(\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0 = 2\varepsilon_0\) となる。
1. 電位 \(V = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon r}\) は \(\dfrac{1}{2}\)倍になる。
2. 電界 \(E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}\) は \(\dfrac{1}{2}\)倍になる。
3. 電束密度 \(D = \dfrac{Q}{4\pi r^2}\) は誘電率に依存しないため変わらない。
4. 電気力線の本数 \(N = \dfrac{Q}{\varepsilon}\) は \(\dfrac{1}{2}\)倍になる。
5. 静電容量 \(C = 4\pi\varepsilon r\) は2倍になる。
したがって、(5)が正しい。
