大きさが等しい二つの導体球A、Bがある。両導体球に電荷が蓄えられている場合、両導体球の間に働く力は、導体球に蓄えられている電荷の積に比例し、導体球の中心間距離の2乗に反比例する。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
上記(a)の導体球A、Bを、電荷を保持したままで \(0.3\text{m}\) の中心間距離を隔てて固定した。ここで、導体球A、Bと大きさが等しく電荷を持たない導体球Cを用意し、導体球Cをまず導体球Aに接触させ、次に導体球Bに接触させた。この導体球Cを導体球Aと導体球Bの間の直線上に置くとき、導体球Cが受ける力が釣り合う位置を導体球Aとの中心間距離で表したとき、その距離の値 \([\text{m}]\) として、最も近いものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
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要点
正解は(5)。接触後は同じ大きさの導体球どうしで電荷が等分されるので、最終的に \(Q_A=2\times10^{-8}\,\mathrm{C},\ Q_B=Q_C=4\times10^{-8}\,\mathrm{C}\) となります。そのうえで A と B から受ける反発力を等しいと置くと、つり合い位置は A から約 0.124m です。
詳細解説
この問題では、接触のたびに電荷が等分されることを先に確定し、その後で力のつり合い式を立てることがポイントです。
導体球は大きさが等しいので、接触すると電荷は等分される。
まず、電荷 \(+4\times 10^{-8}\text{C}\) をもつ A に、無電荷の C を接触させると、
\[
Q_A = Q_C = \frac{4\times 10^{-8}}{2} = 2\times 10^{-8}\text{C}
\]
となる。
次に、その C を電荷 \(+6\times 10^{-8}\text{C}\) をもつ B に接触させると、接触前の B と C の合計電荷は
\[
2\times 10^{-8} + 6\times 10^{-8} = 8\times 10^{-8}\text{C}
\]
なので、接触後は
\[
Q_B = Q_C = 4\times 10^{-8}\text{C}
\]
となる。したがって最終的な電荷は、
\[
Q_A = 2\times 10^{-8}\text{C}, \quad Q_C = 4\times 10^{-8}\text{C}, \quad Q_B = 4\times 10^{-8}\text{C}
\]
である。
A と B はともに C を反発するので、C がつり合うのは A と B の間である。A から C までの距離を \(x\text{ m}\) とすると、
\[
k \frac{(2\times 10^{-8})(4\times 10^{-8})}{x^2}
=
k \frac{(4\times 10^{-8})(4\times 10^{-8})}{(0.3-x)^2}
\]
となる。共通因子を消去すると、
\[
\frac{2}{x^2} = \frac{4}{(0.3-x)^2}
\]
\[
(0.3-x)^2 = 2x^2
\]
\[
x^2 + 0.6x - 0.09 = 0
\]
これを解いて、
\[
x = \frac{-0.6 \pm \sqrt{0.36 + 0.36}}{2}
= \frac{-0.6 \pm \sqrt{0.72}}{2}
\]
正の解を採用すると、
\[
x \approx 0.124\text{m}
\]
となる。よって、(b) は (5) である。
