電極板面積と電極板間隔が共に \(S\) \([m^{2}]\) と \(d\) \([m]\) で、一方は比誘電率が \(\epsilon_{r1}\) の誘電体からなる平行平板コンデンサ \(C_{1}\) と、他方は比誘電率が \(\epsilon_{r2}\) の誘電体からなる平行平板コンデンサ \(C_{2}\) がある。いま、これらを図のように並列に接続し、端子 A, B間に直流電圧 \(V_{0}\) \([V]\) を加えた。このとき、コンデンサ \(C_{1}\) の電極板間の電界の強さを \(E_{1} [V/m]\)、電束密度を \(D_{1} [C/m^{2}]\)、また、コンデンサ \(C_{2}\) の電極板間の電界の強さを \(E_{2} [V/m]\)、電束密度を \(D_{2} [C/m^{2}]\) とする。両コンデンサの電界の強さ \(E_{1} [V/m]\) 及び \(E_{2} [V/m]\) はそれぞれ (ア) であり、電束密度 \(D_{1} [C/m^{2}]\) 及び \(D_{2} [C/m^{2}]\) はそれぞれ (イ) である。したがって、コンデンサ \(C_{1}\) に蓄えられる電荷を \(Q_{1} [C]\)、コンデンサ \(C_{2}\) に蓄えられる電荷を \(Q_{2} [C]\) とすると、それらはそれぞれ (ウ) となる。
ただし、電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は、無視できるものとする。また、真空の誘電率を \(\epsilon_{0} [F/m]\) とする。
上記の記述中の空白箇所 (ア)、(イ) 及び (ウ) に当てはまる式として、正しいものを組み合わせたのは次のうちどれか。
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(1)
(ア)
\(E_{1}=\dfrac{\epsilon_{r1}}{d}V_{0}, \ E_{2}=\dfrac{\epsilon_{r2}}{d}V_{0}\)
(イ)
\(D_{1}=\dfrac{\epsilon_{r1}}{d}SV_{0}, \ D_{2}=\dfrac{\epsilon_{r2}}{d}SV_{0}\)
(ウ)
\(Q_{1}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r1}}{d}SV_{0}, \ Q_{2}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r2}}{d}SV_{0}\)
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(2)
(ア)
\(E_{1}=\dfrac{\epsilon_{r1}}{d}V_{0}, \ E_{2}=\dfrac{\epsilon_{r2}}{d}V_{0}\)
(イ)
\(D_{1}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r1}}{d}V_{0}, \ D_{2}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r2}}{d}V_{0}\)
(ウ)
\(Q_{1}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r1}}{d}SV_{0}, \ Q_{2}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r2}}{d}SV_{0}\)
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(3)
(ア)
\(E_{1}=\dfrac{V_{0}}{d}, \ E_{2}=\dfrac{V_{0}}{d}\)
(イ)
\(D_{1}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r1}}{d}SV_{0}, \ D_{2}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r2}}{d}SV_{0}\)
(ウ)
\(Q_{1}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r1}}{d}V_{0}, \ Q_{2}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r2}}{d}V_{0}\)
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(4)
(ア)
\(E_{1}=\dfrac{V_{0}}{d}, \ E_{2}=\dfrac{V_{0}}{d}\)
(イ)
\(D_{1}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r1}}{d}V_{0}, \ D_{2}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r2}}{d}V_{0}\)
(ウ)
\(Q_{1}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r1}}{d}SV_{0}, \ Q_{2}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r2}}{d}SV_{0}\)
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(5)
(ア)
\(E_{1}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r1}}{d}SV_{0}, \ E_{2}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r2}}{d}SV_{0}\)
(イ)
\(D_{1}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r1}}{d}V_{0}, \ D_{2}=\dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r2}}{d}V_{0}\)
(ウ)
\(Q_{1}=\dfrac{\epsilon_{0}}{d}SV_{0}, \ Q_{2}=\dfrac{\epsilon_{0}}{d}SV_{0}\)
要点
正解は(4)。並列接続された平行平板コンデンサにおいて、極板間電圧は共に \(V_{0}\) で等しい。
詳細解説
並列接続された平行平板コンデンサにおいて、極板間電圧は共に \(V_{0}\) で等しい。
電界の強さは \(E = \dfrac{V}{d}\) で表されるため、
\[ E_{1} = \dfrac{V_{0}}{d}, \quad E_{2} = \dfrac{V_{0}}{d} \]
電束密度は \(D = \epsilon E = \epsilon_{0}\epsilon_{r} E\) で表されるため、
\[ D_{1} = \epsilon_{0}\epsilon_{r1} \dfrac{V_{0}}{d}, \quad D_{2} = \epsilon_{0}\epsilon_{r2} \dfrac{V_{0}}{d} \]
蓄えられる電荷は \(Q = CV\) または \(Q = DS\) （ガウスの法則より電束の総数は電荷量に等しい）で表されるため、
\[ Q_{1} = D_{1}S = \dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r1}}{d}SV_{0}, \quad Q_{2} = D_{2}S = \dfrac{\epsilon_{0}\epsilon_{r2}}{d}SV_{0} \]
これらを満たすのは選択肢4である。
