極板 A-B間が誘電率 \(\varepsilon_{0}\) [F/m] の空気で満たされている平行平板コンデンサの空気ギャップ長を\(d\) [m]、静電容量を \(C_{0}\) [F] とし、極板間の直流電圧を\(V_{0}\) [V]とする。極板と同じ形状と面積を持ち、厚さが \(\dfrac{d}{4}\) [m],誘電率 \(\varepsilon_{1}\) [F/m] の固体誘電体 (\(\varepsilon_{1}>\varepsilon_{0}\)) を図に示す位置 P-Q間に極板と平行に挿入すると、コンデンサ内の電位分布は変化し、静電容量は \(C_{1}\) [F]に変化した。このとき、誤っているものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
ただし、空気の誘電率を\(\varepsilon_{0}\), コンデンサの端効果は無視できるものとし、直流電圧 \(V_{0}\) [V] は一定とする。
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(1)
位置Pの電位は、固体誘電体を挿入する前の値よりも低下する。
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(2)
位置Qの電位は、固体誘電体を挿入する前の値よりも上昇する。
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(3)
静電容量 \(C_{1}\) [F] は、 \(C_{0}\) [F] よりも大きくなる。
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(4)
固体誘電体を導体に変えた場合、位置Pの電位は固体誘電体又は導体を挿入する前の値よりも上昇する。
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(5)
固体誘電体を導体に変えた場合の静電容量 \(C_{2}\) [F]は、 \(C_{0}\) [F]よりも大きくなる。
要点
正解は(4)。正しい。誘電体挿入により静電容量が増加し、蓄えられる電荷 \(Q\) が増える。これにより空気部分の電束密度 \(D\) が増加し、空気部分の電界 \(E_{air} = D/\varepsilon_0\) が強くなる。
詳細解説
正解は(4)です。
誤っている記述を選ぶ問題。
1. 正しい: 誘電体挿入により静電容量が増加し、蓄えられる電荷 \(Q\) が増える。これにより空気部分の電束密度 \(D\) が増加し、空気部分の電界 \(E_{air} = D/\varepsilon_0\) が強くなる。P点の電位は \(V_0 - E_{air} \times \dfrac{d}{4}\) であり、\(E_{air}\)が増加するため、電圧降下が増えてP点の電位は低下する。
2. 正しい: Q点の電位は、接地極板Bからの電位差で考えるとわかりやすい。\(V_Q = E_{air} \times \dfrac{d}{2}\)。\(E_{air}\)が増加しているため、Q点の電位は上昇する。
3. 正しい: 誘電率の高い物質を挿入すると、静電容量は増加する。
4. 誤り: 導体を挿入した場合、その部分は電界が0になる（または誘電率無限大とみなせる）。これにより全体の静電容量はさらに大きくなり、電荷 \(Q\) もさらに増える。結果、空気部分の電界 \(E'_{air}\) は誘電体挿入時よりもさらに強くなる。P点の電位 \(V_P = V_0 - E'_{air} \times \dfrac{d}{4}\) は、初期状態よりも（そして誘電体挿入時よりも）大きく低下する。「上昇する」という記述は誤り。
5. 正しい: 導体を挿入すると実質的な極板間距離が短くなるため、静電容量は大きくなる。
以上より、選択肢(4)が正解です。
